탑동 고등수학과외

점화식은 식만 보고 계산을 시작하면 놓치기 쉬운 조건이 있다. a₁=1, aₙ₊₁=aₙ+2n(n≥1)인 문제와 a₂=3, aₙ₊₁=aₙ+2n(n≥2)인 문제를 나란히 보면, 숫자 하나보다 적용 범위가 결론을 바꾼다는 점이 드러난다. 앞 문제에서는 a₁에서 a₂로 이어지는 관계가 있지만, 뒤 문제에서는 a₁과 a₂를 연결하는 식이 주어지지 않는다. 이런 차이를 확인하는 과정이 배움노트 고등수학 수업에서 점화식을 다루는 중요한 출발점이 된다.

n의 시작값을 놓치면 증가량을 한 번에 더하게 된다

기본 문제에서 이렇게 답했다면 풀이의 흐름을 다시 살펴볼 필요가 있다. a₄=a₁+2·4=9라고 쓰면, a₄를 만들 때 점화식에 n=4를 넣은 셈이 된다. 그러나 점화식의 왼쪽이 aₙ₊₁이므로 a₄를 얻는 단계의 n은 3이다. 더 중요한 것은 a₁에서 a₄까지 한 번의 관계가 아니라 세 번의 관계를 지나야 한다는 점이다.

이 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, “a₂, a₃, a₄를 만드는 단계의 n은 각각 얼마인가?”라고 확인한다. 학생은 식 옆에 각 단계의 번호를 직접 표시하고, 몇 항의 규칙을 관찰하는 것과 모든 자연수에 대해 성립함을 증명하는 일을 구분해 본다. 점화식 계산에서 시작 번호를 놓친 것인지, 귀납법의 다음 단계와 혼동한 것인지도 이 표시를 통해 나누어 볼 수 있다.

항과 증가량을 단계별로 연결해 수정한다

n=1이면 a₂=a₁+2이므로 먼저 a₂=3을 적는다. 이어 n=2에서 a₃=a₂+4=7, n=3에서 a₄=a₃+6=13이 된다. 교사는 중간 결과가 앞 단계와 연결되는지 함께 확인하고, 최종 판단은 학생이 자신의 문장으로 정리하게 한다. 따라서 a₄=13이다.

계산 뒤에는 다른 방식으로 부분 검산한다. a₄−a₁은 첫 단계부터 세 번째 단계까지의 증가량을 합한 값이므로 2(1+2+3)=12이다. a₁=1에 12를 더하면 13이 되어 단계별 풀이와 일치한다. 이 검산은 특정 항에 수치를 대입해 확인하는 방법이며, 모든 n에 대한 성질을 증명했다는 뜻과는 구별해야 한다.

조건만 남긴 상태에서 연결 가능성을 다시 판단한다

이제 문제의 식과 적용 범위, 주어진 항만 남기고 풀이와 정답은 가린 채 다시 시작한다. a₂=3, aₙ₊₁=aₙ+2n(n≥2)일 때 a₁을 결정할 수 있는지 판단하는 것이다. 학생은 먼저 n≥2를 표시하고, 이 관계가 a₂ 이후의 항만 이어 준다는 점을 적는다. a₁과 a₂를 잇는 조건은 없으므로 a₁은 결정할 수 없다.

이 판단은 a₁=0 또는 a₁=100처럼 서로 다른 값을 놓아도 a₂ 이후의 점화식은 만족할 수 있다는 대조로 확인한다. 두 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라 실제로 적용되는 조건이 달라졌기 때문에 결론도 달라진다. 다음에는 점화식의 번호를 앞당겨 읽을 때, 관계가 처음 적용되는 n을 먼저 쓰고 주어지지 않은 연결은 임의로 만들지 않는지 확인한다.