용정동 고등수학과외

“반례가 하나도 없다는 말을 어떤 양화사로 표현하는가?”라는 질문에 “어떤 실수 x가 있다”라고 답했다면, 먼저 문장의 방향보다 범위를 확인해야 한다. 문제는 ‘어떤 실수 x에 대해 x²<0’의 부정을 쓰고 원명제의 참·거짓을 판단하는 것이다. 배움노트 고등수학 수업에서는 답을 바로 고치기보다 학생이 처음 쓴 식에서 어떤 대상이 존재한다고 말했는지, 반례가 하나도 없다는 뜻을 어느 범위로 표현했는지 직접 표시하게 한다.

존재 명제의 부정을 식의 범위와 함께 확인하기

원명제는 “어떤 실수 x에 대해 x²<0이다”이므로 ∃x∈R, x²<0으로 쓸 수 있다. 이 문장이 거짓이라는 사실만 보고 부정을 x²≥0인 어떤 실수라고 쓰면 범위가 충분하지 않다. 존재 명제의 부정은 그 조건을 만족하는 대상이 하나도 없다는 뜻이므로, “모든 실수 x에 대해 x²≥0”이 된다. 학생이 “어떤 실수 x에 대해 x²≥0”이라고 썼다면, 교사는 명제의 방향을 바꾼 것인지, 존재 명제와 전칭 명제의 부정을 혼동한 것인지 구분하도록 “반례가 하나도 없다”를 양화사로 다시 말하게 한다.

대입 몇 번과 보편적 증명을 구별하는 풀이

학생이 x=1, x=2를 대입해 제곱이 음수가 아니라고 확인했더라도 그것만으로 모든 실수에 대한 명제가 증명되지는 않는다. 반대로 원명제의 참·거짓은 조건을 만족하는 실수가 실제로 있는지로 판단한다. 실수의 제곱은 어떤 실수를 넣어도 0 이상이므로 x²<0을 만족하는 실수는 없다. 따라서 원명제는 거짓이고, 부정인 ∀x∈R, x²≥0은 참이다. 학생은 제곱의 비음성이 모든 실수에서 성립한다는 근거를 직접 적고, 부호와 정의역 R을 원식과 대조한다. 이때 교사는 기준을 보여 주되, 실제 계산과 답의 선택은 학생이 이어 가도록 한다.

표현을 바꾼 문제에서 부정을 다시 적용하기

이제 문제와 실수의 범위만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서, “모든 실수 x에 대해 x²>0”의 부정을 쓰고 원명제의 참·거짓을 판단한다. 학생이 먼저 원문을 만족하지 않는 대상을 찾으면 x=0에서 x²=0이므로 원명제는 거짓이다. 따라서 부정은 “어떤 실수 x에 대해 x²≤0”, 즉 ∃x∈R, x²≤0이다. x=0은 이 부정을 만족하므로 부분 검산이 되고, “모든 x에 대해 x²≤0”이라고 쓴 답은 x=1에서 성립하지 않아 잘못된 전칭 표현임을 대조할 수 있다. 같은 문제의 표현만 바뀐 것인지 조건 자체가 달라진 것인지도 확인한다. 마지막으로 처음 오답을 설명 없이 스스로 고친 뒤, “반례가 하나도 없다”는 말의 양화사와 새 문제의 풀이·정답이 모두 맞는지 점검한다. 문장을 부정할 때 연결이 흔들리면 모든 대상을 말하는지 어떤 대상의 존재를 말하는지 먼저 표시하고, 모든·어떤과 부등호의 방향을 함께 바꾸어 쓴다.