용암동 고등수학과외

먼저 달라진 조건부터 확인하기

새 문제는 포물선 y²=8x의 꼭짓점에서 접선의 방정식을 구하는 상황이다. 앞의 문제처럼 직선을 y=mx+b 꼴로만 두면 기울기를 나타낼 수 없는 수직선 x=0을 놓칠 수 있다. 따라서 이번에는 ‘접점이 꼭짓점이다’, ‘수직 접선도 가능하다’는 조건을 먼저 표시하고 시작한다. 포물선 y²=4px와 비교하면 4p=8이므로 p=2이고, 초점은 (2,0), 준선은 x=-2이다. 포물선은 초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같은 점들의 자취라는 정의도 함께 확인한다.

기본 문제에서 접선의 기준 세우기

기준이 되는 문제는 포물선 y²=8x에 직선 y=x+k가 접하도록 하는 실수 k를 구하는 것이다. 직선 하나의 점을 포물선에 대입해 k=0이라고 하면 접선을 결정했다고 보기 어렵다. 실제로 k=0이면 y=x이고, 대입한 식은 x²=8x, 즉 x(x-8)=0이 되어 서로 다른 두 교점을 만든다. 접선이라면 교점이 겹쳐 하나의 중근을 가져야 한다.

직선 y=x+k에서 y를 대입하면 (x+k)²=8x, 정리하여 x²+(2k-8)x+k²=0을 얻는다. 여기서 바로 계산을 대신하지 않고, “접할 때 이 이차방정식은 어떤 근을 갖는가?”라고 확인한다. 학생이 축의 방향과 초점·준선의 위치를 혼동하는지, y²에서 y의 두 부호를 빠뜨리는지도 살핀다. 학생이 직접 판별식을 쓰면 (2k-8)²-4k²=64-32k=0이므로 k=2이다. 따라서 접선은 y=x+2이고, 대입하면 (x-2)²=0이 되어 접점 (2,4) 하나만 남는다.

꼭짓점의 수직 접선으로 다시 적용하기

이제 기본 문제의 풀이와 정답을 가린 상태에서, 포물선 y²=8x의 꼭짓점에서 접선 방정식을 구한다. 남겨 둔 조건은 포물선의 식, 꼭짓점, 초점 (2,0), 그리고 수직선도 후보에 포함한다는 점이다. 꼭짓점 (0,0)과 초점을 잇는 축에 수직인 선을 살피면 x=0을 후보로 세울 수 있다. 포물선을 x=y²/8로 바꾸면 y가 0에 가까울 때 x는 y²에 따라 변하므로 꼭짓점에서 접선 방향은 세로가 된다. 따라서 접선은 x=0이다.

검산은 x=0을 포물선 식에 대입하여 y²=0을 얻는 방식으로 한다. 꼭짓점에서 교점이 겹치는 조건이 확인되며, 기울기식 y=mx+b만으로는 이 수직선을 표현할 수 없다는 점도 확인한다. 눈대중으로 접선을 정했다면 반드시 직선을 대입해 중근 조건을 확인하고, 기울기 표현에서 빠지는 수직선이 있는지 살핀다. 다음에는 정답을 보이지 않은 채 경계값과 제외 조건을 먼저 표시하고, 같은 개념을 유지하면서 실제 조건이 달라진 부분을 한 문장으로 설명하게 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이렇게 표현만 바뀐 경우와 수직 접선처럼 조건 자체가 달라진 경우를 구별하며 풀이를 다시 세운다.