개금동 고등수학과외

종류별 최소 개수를 확인한 검산 결과가 예시 오답 3H6=28과 어긋난다면, 먼저 계산 결과만 보고 틀렸다고 단정하지 않고 두 식이 어떤 조건을 세는지 비교해야 한다. A, B, C 구슬이 충분히 있고 순서 없이 6개를 고르되 각 종류를 한 개 이상 고르는 상황에서 3H6은 각 종류의 개수를 0개부터 허용한 경우다. 따라서 이 식은 문제의 ‘각 종류를 한 개 이상’이라는 조건을 반영하지 않는다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이 차이를 식의 모양보다 조건의 포함 여부로 확인하게 한다.

각 종류를 먼저 하나씩 배정했는지 확인하기

이렇게 답했다면 “3H6은 무엇을 6개 고르는 식인가?”, “A, B, C 중 한 종류를 0개로 두어도 되는가?”라고 묻는다. 이어 각 종류에 구슬을 한 개씩 먼저 배정하면 전체 6개 중 몇 개가 남는지 학생이 직접 계산해 표시하게 한다. A의 개수를 a, B의 개수를 b, C의 개수를 c라 하면 조건은 a+b+c=6, a≥1, b≥1, c≥1이다. a′=a−1, b′=b−1, c′=c−1로 바꾸면 a′+b′+c′=3이고 세 변수는 모두 0 이상이다. 이제 남은 3개를 세 종류에 나누는 문제로 바뀐다.

중복조합과 이항계수의 역할을 구분하기

같은 종류를 여러 개 고르는 결과는 종류별 개수의 조합으로 나타내므로 3H3을 사용할 수 있다. 비음수 정수해의 개수는 3H3=5C2=10이다. 여기서 5C2의 이항계수는 구슬을 고르는 순서를 세는 값이 아니다. 구분선을 배치해 세 종류의 개수를 나타낼 때 어느 자리에 표시할지를 세는 수이며, 중복조합의 변환식에서 나온다. 반면 이항정리에서 이항계수는 전개할 때 여러 인수 중 어느 자리에서 한 항을 선택하는 경우의 수를 나타낸다. 두 상황 모두 이항계수를 쓰지만, 세는 대상과 성립 조건은 다르다.

학생은 3H3=10을 적은 뒤, 이것이 원래 문제의 양의 정수해와 일대일 대응하는지 직접 대조한다. 각 해에 처음 배정한 A, B, C 한 개씩을 다시 더하면 원래 조건을 만족하는 선택으로 돌아가고, 원래 선택에서 각 최소 배정을 빼면 남은 비음수 정수해가 하나만 정해진다. 따라서 정답은 10가지이며, 28은 최소 개수 조건을 빠뜨린 경우의 값이다.

조건을 지운 새 문제에 다시 적용하기

다음에는 문제, “종류 A, B, C의 같은 크기 구슬이 각각 충분히 있다. 순서 없이 4개를 고르는 방법 수를 구하라”만 남기고 앞의 풀이와 정답, 구분선 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 이번에는 각 종류를 반드시 한 개 이상 고르라는 조건이 없으므로 개수 a+b+c=4, a,b,c≥0인 정수해를 세면 된다. 학생이 종류별 최소 개수를 0으로 판단하고 3H4=6C2=15를 스스로 작성하면 조건 변화에 맞게 풀이한 것이다. 부분 검산으로 a=0,1,2,3,4를 차례로 고정하면 남은 b,c의 경우가 5+4+3+2+1=15이므로 결과가 일치한다. 이후에는 첫 단계의 식을 지우고 최소·최대 개수와 그 이유를 먼저 적게 하며, 조건을 놓쳤을 때는 종류별 개수의 합을 쓴 뒤 남는 개수만 세는 방식으로 다시 점검한다.