초읍동 고등수학과외

확률과 통계에서 중복순열과 같은 것이 있는 순열을 구분할 때는 식을 먼저 고르기보다, 문제의 조건과 각 자리의 역할을 표시하는 것이 출발점입니다. 예를 들어 기호 A, B, C로 길이 3의 문자열을 만들고 기호를 반복해도 된다는 조건이 있다면, 다음과 같이 답했다면 어떤 조건을 빠뜨렸는지 확인해 볼 필요가 있습니다. “세 기호를 한 번씩 배열하는 것이므로 3!=6이다.” 이 계산은 세 기호를 모두 사용하고 서로 다른 대상을 배열하는 상황에 가까우며, 반복 허용 코드의 조건을 그대로 반영한 결과는 아닙니다.

3!이 되는 조건과 반복 허용 조건 구별하기

먼저 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않고, 학생에게 “AAA도 허용되는데 다음 자리의 선택 수가 줄어드는가?”라고 묻습니다. 만약 두 번째 자리부터 선택지가 줄어든다고 생각한다면 반복을 허용하는 조건과 이미 고른 대상을 다시 사용할 수 없는 경우를 혼동했을 가능성이 있습니다. 반대로 같은 대상을 구별하지 않아 3!을 썼는지, 자리를 구별하지 않은 것인지도 나누어 확인해야 합니다. 짧은 길이의 문자열을 직접 적어 AAA, AAB, ABC처럼 비교하면 자리의 구별과 기호의 반복 여부를 눈으로 확인할 수 있습니다.

각 자리의 선택 수를 표시해 수정하기

교사는 자리의 구별, 반복 허용, 같은 대상의 구별 여부를 따로 표시하게 합니다. 첫째 자리에는 A, B, C 세 가지가 가능하고, 첫째 자리에서 무엇을 골랐는지와 관계없이 둘째 자리에도 세 가지가 가능합니다. 셋째 자리 역시 세 가지이므로 전체 경우의 수는 3×3×3=3³입니다. 중간 결과를 함께 확인한 뒤 최종 판단은 학생이 “각 자리마다 세 기호 중 하나를 독립적으로 고를 수 있고 반복이 허용되므로 3³을 계산한다”라고 문장으로 쓰게 합니다. 따라서 정답은 27개입니다. 첫 기호를 A로 고정하면 뒤 두 자리가 9개, B로 시작해도 9개, C로 시작해도 9개이므로 9+9+9=27로 부분 검산할 수 있습니다.

조건을 바꾼 문자열에서 다시 적용하기

수정 풀이를 마친 뒤에는 문제, 기호 A와 B, 길이 4라는 조건만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 다시 시작합니다. 이번에는 “두 기호를 각각 적어도 한 번 사용한다”는 조건을 먼저 표시해야 합니다. 자리별 선택 방법 자체는 유지되므로 조건이 없다면 전체는 2⁴=16개입니다. 그러나 A만 네 번 쓰는 문자열과 B만 네 번 쓰는 문자열은 각각 한 종류만 사용하므로 제외하여 16−2=14개를 얻습니다. A의 개수가 1, 2, 3인 경우를 나누면 각각 4, 6, 4개라서 4+6+4=14로도 대조할 수 있습니다. 이는 같은 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라, 반드시 두 기호를 사용해야 한다는 실제 조건이 추가된 경우입니다. 마지막 줄을 비워 두고 학생이 “정답은 14개이며, 한 종류만 사용한 두 문자열을 제외했다”라고 직접 채우게 한 뒤, 다음 문제에서도 바뀐 조건을 먼저 표시하는지 점검합니다. 공식이 떠오르지 않을 때는 작은 길이의 문자열을 나열하여 어떤 결과가 같은지 비교하면 조건과 계산의 대응을 다시 확인할 수 있습니다.