부암동 고등수학과외

“모든 허용 x에서 전개 후 두 출력은 같은가?”에서 멈춘 순간

함수의 정의와 정의역·치역을 살피던 수업에서, 다음과 같은 문제를 만났다고 하자. 정의역과 공역이 모두 실수 전체인 f(x)=(x+1)²−2x, g(x)=x²+1이 같은 함수인지 판단하는 상황이다. 이렇게 답했다면 “식의 모양이 다르므로 다른 함수입니다”라고 결론 내리기 쉽다. 하지만 함수의 같음은 괄호의 모양이나 항의 배열만으로 결정하지 않는다. 교사는 곧바로 오답의 원인을 확정하지 않고, “두 식을 전개해 보았는가?”, “정의역과 공역 조건도 함께 확인했는가?”, “모든 허용 x에서 전개 후 두 출력은 같은가?”라고 물으며 학생의 판단 과정을 확인한다.

식의 모양과 정의역·공역을 나누어 대조하기

먼저 f(x)의 식을 원래 조건을 보존한 채 정리한다. (x+1)²−2x=x²+2x+1−2x=x²+1이므로 f(x)는 g(x)와 항등적으로 같은 값을 낸다. 여기서 특정한 몇 값을 대입해 우연히 일치하는지 확인하는 것만으로는 충분하지 않다. 전개와 동류항 정리는 모든 실수 x에 대해 성립하는 항등변형이므로, 허용된 모든 입력에서 두 출력이 같다는 근거가 된다. 동시에 두 함수의 정의역이 모두 R이고 공역도 모두 R인지 확인해야 한다. 정의역이나 공역이 다르면 식을 같은 모양으로 정리할 수 있어도 같은 함수라고 할 수 없다.

학생은 설명을 들은 뒤 다음처럼 직접 풀이를 다시 적는다. “f(x)=(x+1)²−2x=x²+1=g(x)이고, 두 함수의 정의역과 공역이 각각 R로 같다. 식의 변형은 모든 실수 x에서 성립하므로 두 함수는 같은 함수이다.” 교사는 마지막으로 특정 점의 대입이 아니라 항등변형으로 모든 입력에서 일치함을 근거로 썼는지 확인한다. 이 과정을 통해 개념을 알고 있는지와 주어진 조건에 적용했는지를 구분할 수 있다.

표현이 아니라 조건이 달라졌을 때 다시 판단하기

이제 문제의 자료만 남기고 풀이와 결론은 가린 상태에서, f(x)=x²(x∈R), g(x)=x²(x≥0), 두 공역은 R인 경우를 처음부터 판단해 보자. 식은 같은 모양이지만 정의역이 다르다. 예를 들어 −1은 f의 정의역에는 속하지만 g의 정의역에는 속하지 않으므로, 그 입력에서 두 함수의 대응을 함께 비교할 수 없다. 따라서 두 함수는 같은 함수가 아니다. 이는 식의 표현만 달라진 앞의 경우와 실제 조건이 달라진 경우를 구별하는 판단이다.

배움노트 고등수학 수업에서는 학생이 두 사례의 근거를 다시 적게 하며 확인한다. 식이 달라도 같은 함수인지 볼 때는 먼저 정의역과 공역을 대조하고, 두 식의 차가 모든 허용 입력에서 0인지 확인한다. 반대로 정의역이 다르면 한쪽에만 존재하는 입력을 표시해 대응 자체가 같지 않음을 설명한다. 다음 점검에서는 풀이와 정답을 가린 채 문제와 필요한 조건만 제시하고, 학생이 상황에 맞게 항등변형 또는 정의역 비교를 선택해 쓰는지 살핀다.