가정지구 수학과외

1/x를 먼저 넣어야 하는 합성함수 문제

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. f(x)=x+1, g(x)=1/x일 때 f(g(x))의 식과 정의역을 구하라는 문제에 “f(g(x))=1/(x+1), x≠-1”이라고 쓴 경우입니다. 이 답은 단순히 계산 결과만 틀린 것이 아니라, 안쪽 함수의 출력을 바깥 함수에 넣는 합성의 순서를 바꾼 데서 어긋났을 가능성이 있습니다.

f(g(x))에서는 먼저 g에 x를 넣습니다. 따라서 g(x)=1/x이고, 이 값이 f의 입력이 됩니다. 그러므로 f(g(x))=f(1/x)=1/x+1입니다. 여기서 최종적으로 구하는 값은 중간 결과인 1/x가 아니라, 바깥 함수까지 적용한 1/x+1입니다. 또한 g(x)=1/x는 분모가 0이면 계산할 수 없으므로 x≠0이라는 조건이 먼저 생깁니다. x≠-1은 1/(x+1)이라는 다른 식의 분모를 보고 얻은 조건이므로 이 문제의 정의역 조건이 아닙니다.

어느 판단에서 달라졌는지 확인하는 과정

교사는 처음 오답을 곧바로 특정 원인으로 단정하지 않고, “먼저 계산해야 하는 함수는 f와 g 중 어느 함수인가?”, “g(x)의 값을 f에 넣으면 어떤 식이 되는가?”라고 묻습니다. 학생이 합성의 순서는 말할 수 있지만 식으로 옮기는 과정에서 틀렸다면, 개념 전체보다 처음 식을 세우는 단계를 함께 살핍니다. 반대로 g(x)=1/x의 입력 조건을 설명하지 못한다면, 식을 변형하기 전에 실제로 계산 가능한 입력인지 확인해야 한다는 점부터 짚습니다.

학생이 바로 이유를 설명하기 어려워하면 교사가 g(x)=1/x까지 한 단계 써 보이고, 이어서 f의 입력 자리에 1/x를 넣도록 돕습니다. 학생은 f(g(x))=f(1/x)=1/x+1을 다시 쓰며, 처음의 1/(x+1)은 바깥 함수에 넣을 값을 분모 안에 더한 식으로 바꿔 버린 결과라고 문제 조건과 연결해 설명합니다. 이어서 정의역은 g가 먼저 계산되므로 x≠0이라고 결론 내립니다.

조건에 대입해 확인하는 검산

풀이를 그대로 반복하지 않고, 임의의 x≠0인 값으로 순서를 확인할 수 있습니다. 예를 들어 x=2이면 g(2)=1/2이고, f의 입력에 넣은 결과는 f(1/2)=1/2+1=3/2입니다. 수정한 식 1/x+1에 x=2를 대입해도 3/2가 나옵니다. 반면 x=0에서는 g(0)=1/0이 되어 안쪽 함수부터 정의되지 않습니다. 따라서 x≠0이라는 정의역 조건도 계산 과정과 일치합니다. 학생이 풀이 순서를 따라 쓴 뒤에는 수정 풀이와 정답을 가리고 같은 문제를 다시 시작하게 하여, 먼저 g의 값을 쓰고 그다음 f에 넣는지 확인합니다.

합성 순서가 바뀌면 정의역도 달라지는 새 문제

이번에는 f(x)=√x, g(x)=x-4일 때 f(g(x))와 g(f(x))의 정의역이 같은지 확인합니다. 먼저 f(g(x))에서는 g(x)=x-4를 √x의 입력에 넣으므로 f(g(x))=√(x-4)입니다. 근호 안이 음수가 되지 않아야 하므로 x≥4입니다. 반면 g(f(x))에서는 f(x)=√x를 먼저 계산하고, 그 결과를 g에 넣으므로 g(f(x))=√x-4입니다. 이때 필요한 조건은 √x가 계산되는 x≥0입니다. 따라서 두 합성함수의 식뿐 아니라 정의역도 합성 순서에 따라 달라집니다.

다음 수업에서는 새 문제의 수치와 조건, 정답을 가린 상태에서 학생이 두 합성 순서를 직접 써 보게 합니다. 학생이 각 식의 입력이 어디에서 왔는지 설명하고, 근호 조건을 빠뜨리지 않는지 확인합니다. 필요할 때는 f(g(x))와 g(f(x))를 비교하는 문제를 더 사용합니다. 예를 들어 f(x)=x+2, g(x)=1/x일 때 f(g(1))=f(1)=3이고 g(f(1))=g(3)=1/3이므로, 적용 순서를 바꾸면 결과가 같다고 항상 말할 수는 없습니다. 중요한 확인 기준은 풀이를 베껴 쓰는지가 아니라, 새로운 조건에서도 먼저 적용할 함수와 그 입력 제한을 스스로 구분하는지입니다.