연희지구 수학과외

대표 문제에서 빗변을 잘못 사용한 경우

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “직각삼각형의 빗변은 13cm이고, 한 직각변은 5cm일 때 다른 직각변의 길이는 얼마인가?” 학생이 √(169+25)cm라고 썼다면, 13²과 5²을 더한 계산 자체보다 먼저 어떤 변의 제곱을 더하고 빼야 하는지 확인할 필요가 있습니다.

직각삼각형에서는 직각을 마주 보는 변이 빗변이며, 빗변은 두 직각변보다 깁니다. 피타고라스 정리는 두 직각변의 제곱을 더한 값이 빗변의 제곱과 같다는 관계입니다. 따라서 이 문제에서는 빗변의 제곱이 이미 13²=169로 주어졌고, 한 직각변의 제곱은 5²=25입니다. 구해야 하는 다른 직각변의 제곱을 더하는 것이 아니라, 빗변의 제곱에서 알려진 직각변의 제곱을 빼야 합니다.

어느 판단에서 식이 달라졌는지 확인하기

교사는 오답만 보고 학생의 원인을 바로 정하지 않고, “13cm인 변은 직각을 마주 보고 있니?”, “5cm인 변은 직각을 이루는 두 변 중 하나니?”, “두 직각변의 제곱을 더하면 어느 변의 제곱이 되니?”라고 차례로 묻습니다. 학생이 직각을 마주 보는 변을 빗변이라고 말할 수 있지만 식을 세울 때 더하기와 빼기를 바꾸었다면, 정의를 모르는 경우와 계산 과정에서 판단이 달라진 경우를 구분해 볼 수 있습니다.

학생이 처음 식을 세운 이유를 말하기 어렵다면 교사는 직각을 이루는 두 변을 a, b, 빗변을 c로 놓고 a²+b²=c²를 짧게 보여 줍니다. 이 문제에서는 5²+b²=13²가 된다는 부분까지 함께 확인한 뒤, 이미 알려진 5²을 오른쪽의 13²에서 옮겨야 b²=13²-5²가 된다는 점을 설명합니다. 이렇게 하면 ‘구하는 값을 더한다’가 아니라 ‘완성된 빗변의 제곱에서 알고 있는 직각변의 제곱을 뺀다’는 판단으로 연결됩니다.

학생이 수정 풀이를 다시 구성하는 과정

설명을 들은 뒤 학생은 처음의 √(169+25)라는 식에서, 13cm가 빗변이라는 조건을 반영해 식을 다시 세웁니다. 먼저 b²=13²-5²라고 쓰고, 13²=169, 5²=25를 대입하여 b²=169-25=144를 계산합니다. 여기서 144는 변의 길이가 아니라 구하려는 직각변의 제곱이므로, 마지막에 제곱근을 취해 b=√144=12가 됩니다. 길이를 구하는 문제이므로 답은 12cm라고 단위를 붙입니다.

교사는 학생이 중간 계산을 놓치면 169-25를 함께 계산해 줄 수 있지만, 왜 빼는지와 √144가 무엇을 뜻하는지는 학생이 문제 조건과 연결해 다시 말하고 써 보게 합니다. 풀이를 가리고 문제의 조건만 다시 보게 한 뒤, 학생이 5²+b²=13²를 스스로 적는지도 확인합니다. 단순히 정답을 옮겨 적었는지가 아니라, 빗변의 제곱과 알려진 직각변의 제곱을 구분해 식을 세우고 답까지 구하는지가 중요한 확인 기준입니다.

검산과 다른 조건에 적용하기

구한 12cm가 조건에 맞는지는 원래 관계에 대입해 확인할 수 있습니다. 5²+12²=25+144=169이고, 이는 13²과 같습니다. 따라서 두 직각변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 일치하므로 계산 결과가 주어진 직각삼각형의 조건을 만족합니다. 이 검산은 같은 뺄셈을 반복하는 것이 아니라, 구한 길이를 원래 관계에 다시 넣어 확인하는 과정입니다.

다음 적용 문제는 빗변이 25cm이고 한 직각변이 7cm인 직각삼각형에서 다른 직각변을 구하는 것입니다. 조건이 바뀐 것은 길이뿐이며, 빗변과 직각변의 관계는 같으므로 이전 식의 구조를 사용할 수 있습니다. 다른 직각변을 x라고 하면 x²=25²-7²=625-49=576이고, x=√576=24이므로 답은 24cm입니다. 이 문제를 풀 때에도 풀이와 정답을 가린 상태에서 수치와 조건만 보고, 먼저 어느 변의 제곱에서 무엇을 빼야 하는지 판단하게 합니다.

추가로 “임의의 삼각형에서 두 변의 제곱의 합이 나머지 한 변의 제곱이다”라는 설명이 항상 맞는지도 구분해 볼 수 있습니다. 세 변이 모두 4cm인 정삼각형에서는 4²+4²=32이고 다른 한 변의 제곱은 4²=16이므로 서로 같지 않습니다. 정삼각형에는 제시된 직각이 없기 때문에 피타고라스 정리를 그대로 적용할 수 없습니다. 새 문제와 비교 문제에서 학생이 숫자만 계산하는 것이 아니라, 직각이라는 적용 조건을 먼저 확인하고 근거를 설명하는지를 다음 수업에서 살펴볼 수 있습니다.