가정지구 고등수학과외

끝점의 부호가 다르면 항상 근이 있다고 생각하기 쉽지만, 그 결론에는 구간 전체에서 함수가 연속이라는 조건이 함께 필요하다. 이번에는 불연속 함수의 부호 변화에서 갈린 두 판단을 출발점으로 삼아, 답의 모양보다 빠진 조건을 먼저 찾는 과정을 살펴본다. 배움노트 고등수학 수업에서는 한 번의 오답만으로 원인을 정하지 않고, 정의와 극한, 함숫값을 차례로 확인하며 학생이 직접 판단 근거를 완성하게 한다.

끝값의 부호만 보고 근을 단정한 경우

다음과 같은 문제를 생각해 보자. f(x)=−1 (−1≤x<0), f(x)=1 (0≤x≤1)일 때 f(x)=0의 해가 있는가? 이렇게 답했다면 “양 끝에서 함수값의 부호가 다르므로 사잇값 정리에 의해 근이 있다”는 풀이가 된다. 하지만 사잇값 정리는 구간에서 함수가 연속일 때 적용할 수 있다. 먼저 구간 전체에 끊기는 점이 없는지 물어야 한다. 특히 x=0에서 왼쪽 값은 −1로 가까워지고, 실제 함숫값은 1이므로 좌극한과 함숫값이 일치하지 않는다. 따라서 x=0에서 연속이 아니며, 사잇값 정리의 가정이 성립하지 않는다.

교사는 곧바로 정답만 말하기보다 “x=0에서 좌우의 값과 함수값은 각각 무엇인가?”, “주어진 함수가 실제로 내놓는 값의 전체 범위는 무엇인가?”라고 확인한다. 한 점에서 연속이려면 함숫값이 존재하고 좌우극한을 포함한 극한과 같아야 한다. 구간에 대한 정리를 쓰려면 그 연속성이 구간 전체에서 확보되어야 한다. 이때 근거 한 단계 뒤의 식과 결론은 학생이 직접 적게 한다.

함수의 실제 출력값으로 수정 풀이하기

학생이 식을 다시 읽고 각 부분에서 가능한 함수값을 표시하면 f(x)는 −1 또는 1만을 출력한다. 그러므로 f(x)=0을 만족하는 x는 없다. 정답은 해 없음이다. 이는 단순히 정리를 사용할 수 없다는 말에 그치지 않고, 주어진 두 식의 출력 전체를 조사해 0이 포함되지 않음을 확인한 결과다. 부호 변화가 보이더라도 중간에 함수가 끊기면 값이 연속적으로 0을 통과한다고 할 수 없다.

다만 양 끝의 부호 비교 자체가 항상 무의미한 것은 아니다. f(x)=x³+x−1이라면 다항함수이므로 모든 실수에서 연속이고, f(0)=−1, f(1)=1이므로 f(0)<0<f(1)이다. 사잇값 정리에 따라 어떤 c∈(0,1)에서 f(c)=0이므로 이 구간에 적어도 하나의 실근이 존재한다. 그러나 정리는 정확한 근의 값을 정해 주지 않는다. 실제로 f(1/2)=−3/8이므로 c=1/2이라고 단정할 수 없다.

조건을 가린 상태에서 다시 적용하기

수정한 뒤에는 문제와 조건만 남기고 풀이, 정답, 화살표나 유도 표시를 가린 상태에서 다시 시작한다. 먼저 함수의 정의역과 구간을 적고, 끊기는 점 또는 금지된 입력이 있는지 표시한다. 다음으로 양 끝의 함수값을 계산하되, 부호 변화와 연속성을 연결할 수 있는지 스스로 판단한다. 표현만 바뀐 문제인지 실제 조건이 달라진 문제인지도 구별해야 한다. 같은 불연속 함수에 구간을 달리 제시한 경우와, 다항함수처럼 연속성이 보장된 경우를 나란히 놓고 선택 이유를 말하게 하면 판단 순서가 분명해진다. 끝값만 보고 결론을 내리기 전에 구간 중간의 끊김을 확인하는 습관이 다음 문제에서도 이어지는지 점검한다.