마전지구 수학과외

아래 내용은 수업 방법을 설명하기 위한 학습 예시입니다.

3x+2y=12, x+y=5를 연립해 풀면서 학생은 y의 계수를 맞추기 위해 둘째 식을 2배하려고 했다. 방향은 맞았지만 실제 풀이에서는 좌변만 2배하려 했다. 마전지구 수학과외 수업에서는 소거 방법 자체보다 한 방정식에 연산을 적용할 때 등식이 어떻게 유지되어야 하는지를 먼저 확인했다.

x+y=5의 좌변에만 2를 곱하면 2x+2y=5가 되어 원래 방정식과 같은 관계가 아니다. 식을 2배하려면 양변 전체에 같은 연산을 적용해야 하므로 2x+2y=10으로 바꿔야 한다. 이를 첫 번째 식 3x+2y=12에서 빼면 x=2가 되고, x+y=5에 다시 대입하면 y=3을 구할 수 있다.

학생은 처음 풀이와 수정한 식을 비교하면서 계수를 맞추는 것만으로는 충분하지 않다는 점을 확인했다. 한 식을 몇 배할 때는 좌변의 특정 항뿐 아니라 좌변 전체와 우변까지 함께 바뀌어야 한다. 구한 x=2, y=3을 원래 두 식에 대입하면 3×2+2×3=12, 2+3=5가 모두 성립한다.

새 문제에서는 x+2y=7, 3x-y=7을 풀었다. 학생은 x의 계수를 맞추기 위해 첫 번째 식 전체를 3배해 3x+6y=21로 만들었다. 두 식을 빼서 y=2를 구하고 이를 원래 식에 대입해 x=3을 얻었다. 이번에는 계수만 바꾸지 않고 방정식 전체에 같은 배수를 적용했다.

다음에는 소거한다고 해서 항상 하나의 해가 나오는 것은 아니라는 점도 확인한다. x+y=7을 2배하면 2x+2y=14인데, 다른 식이 2x+2y=15라면 같은 좌변이 서로 다른 값과 같아지는 모순이 생긴다. 이후에는 소거 계산만 끝내는 것이 아니라 식을 변형하는 동안 등식이 유지되는지와 소거 후 나타난 결과가 어떤 의미인지까지 확인하는 것이 다음 점검 기준이 된다.