당하동 수학과외

“정보가 부족하다”는 오답에서 확인할 판단

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “삼각형 ABC의 외심 O에서 OA=5cm일 때, OB는 알 수 없다.” 문제에 숫자가 하나만 제시되어 있어 정보가 부족하다고 판단한 것입니다. 하지만 이 문제는 세 변의 길이나 각도를 구하는 문제가 아니라, 외심에서 꼭짓점까지의 거리를 묻고 있습니다. 외심 O는 삼각형의 세 꼭짓점 A, B, C에서 같은 거리에 있는 점이므로 OA, OB, OC는 모두 같은 원의 반지름입니다. 따라서 OA=5cm라는 조건만으로도 OB를 구할 수 있습니다.

이 오답만 보고 곧바로 계산 실수라고 단정하지는 않습니다. 교사는 먼저 “외심은 어떤 점까지의 거리를 같게 만드는가?”, “OA에서 O와 A는 각각 무엇을 뜻하는가?”라고 묻고, 외심과 세 꼭짓점을 연결한 선분을 말이나 간단한 표시로 확인하게 합니다. 학생이 외심의 정의는 알고 있지만 이 문제에 연결하지 못한 것인지, 외심과 내심을 혼동한 것인지, 아니면 문제의 질문을 잘못 읽은 것인지 구분하기 위해서입니다. 외심은 세 꼭짓점까지의 거리가 같고, 내심은 세 변에 내린 수선의 길이가 같다는 차이도 함께 짚습니다.

외심과 꼭짓점을 연결해 수정 풀이 세우기

교사는 먼저 O에서 A, B, C로 선분을 연결해 보이며, 이 선분들이 외접원의 반지름이라는 점을 설명합니다. 여기서 중요한 것은 “삼각형의 세 변이 같다”는 뜻이 아니라, “외심에서 세 꼭짓점까지의 거리 OA, OB, OC가 같다”는 뜻입니다. 학생이 설명을 한 번에 이해하기 어렵다면 교사가 OA=OB라는 관계를 먼저 써 보이고, 그다음 OC도 같은 관계에 포함된다는 부분을 학생이 이어서 작성하게 합니다.

학생은 처음의 “정보가 부족하다”는 판단을 바꾸어, 문제에서 외심 O와 꼭짓점 A, B가 연결되어 있다는 조건을 풀이에 사용합니다. 외심의 성질에 따라 OA=OB이고, OA=5cm이므로 OB=5cm입니다. 따라서 구해야 할 값은 외접원의 반지름 자체가 아니라 그 반지름과 같은 길이를 갖는 OB이며, 답은 5cm입니다. 단순히 선분을 표시하는 데서 끝내지 않고, “O에서 A와 B까지의 거리가 같기 때문에 OB도 5cm이다”라고 문제의 조건과 결론을 연결해 적도록 합니다.

원래 조건에 대입해 풀이 확인하기

검산할 때 같은 문장을 반복하기보다, 세 점 A, B, C가 중심 O인 같은 원 위에 있다는 조건을 다시 사용합니다. OA=5cm는 그 원의 반지름이 5cm라는 뜻이고, 같은 원 위에 있는 B까지의 거리도 반지름과 같으므로 OB=5cm입니다. 이 확인으로 OA의 수치를 OB에 그대로 옮긴 이유가 계산 편의가 아니라 외심의 정의에서 나온 것임을 확인할 수 있습니다.

풀이 순서를 따라 쓴 경우에는 수정 풀이와 정답을 가린 뒤, 문제의 조건만 보고 다시 시작하게 합니다. 학생이 혼자 바로 풀지 못하면 외심과 꼭짓점을 연결하는 단계까지 함께 살핀 후, OA=OB를 쓰고 답을 정하는 단계는 다시 시도하게 합니다. 이때 확인할 변화는 표시가 늘었는지가 아니라, 학생이 외심의 조건을 근거로 답을 구성하고 그 이유를 설명하는지입니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단 확인하기

이제 기본 문제와 구분되는 새 문제를 제시합니다. “삼각형 ABC의 외심 O에서 OA=7cm일 때, OB와 OC는 얼마인가?”라는 문제의 조건과 도형의 이름은 보여 주되, 앞에서 작성한 풀이와 정답은 가리고 학생이 다시 해결하도록 합니다. 바뀐 것은 반지름의 수치가 5cm에서 7cm로 바뀐 점뿐이며, 외심과 세 꼭짓점까지의 거리가 같다는 방법은 이 조건에서도 적용할 수 있습니다. 따라서 OA=OB=OC=7cm이고, 답은 OB=7cm, OC=7cm입니다.

추가 비교가 필요하다면 “외심에서 세 꼭짓점까지 거리가 같을 때 세 변까지의 거리도 같은가?”를 살펴볼 수 있습니다. 직각변의 길이가 6, 8이고 빗변이 10인 직각삼각형에서는 외심이 빗변의 중점이므로 빗변까지의 거리는 0이지만, 다른 두 변까지의 거리는 양수입니다. 따라서 꼭짓점까지의 거리와 변까지의 거리는 같은 대상으로 볼 수 없습니다. 다음 수업에서는 새 적용 문제를 풀이와 정답을 보지 않고 스스로 해결하는지, 그리고 외심과 내심을 구별해 거리의 대상을 정확히 말하는지를 확인합니다.