청라국제도시 수학과외

대표 문제에서 3/6이 나온 이유

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 공정한 주사위를 한 번 던졌을 때, 주사위의 결과가 짝수임을 이미 알고 있다고 합니다. 이때 그 수가 4 이상일 확률을 구하는 문제입니다. 처음에 학생이 “3/6이다”라고 답했다면, 주사위 전체 결과 1, 2, 3, 4, 5, 6 중 짝수가 세 개라는 점을 사용했을 가능성이 있습니다. 그러나 3/6은 ‘짝수가 나올 확률’에 해당하는 계산이고, 문제에서 묻는 것은 짝수라는 조건을 알고 난 뒤 그 수가 4 이상일 확률입니다. 따라서 먼저 학생에게 “이미 짝수라는 사실을 알았다면, 이제 어떤 결과를 가능한 경우로 남겨야 할까?”라고 묻고, 처음의 3/6이 어느 조건을 반영한 식인지 설명해 보게 합니다.

조건을 알고 난 뒤 표본공간 다시 만들기

학생이 바로 이유를 설명하지 못하더라도 교사가 한 단계씩 함께 살필 수 있습니다. 주사위의 전체 결과는 1부터 6까지이지만, 짝수라는 조건을 만족하지 않는 1, 3, 5는 더 이상 가능한 결과가 아닙니다. 그러므로 조건을 알고 난 뒤의 가능한 결과는 {2, 4, 6}으로 바뀝니다. 이 세 결과가 새롭게 분모에 놓이는 전체 경우입니다. 그중 4 이상인 결과는 {4, 6} 두 개이므로, 구하는 확률은 2/3입니다. 여기서 분모 3은 처음부터 주사위를 세 번 던진다는 뜻이 아니라, 주어진 조건을 만족하는 결과가 세 가지라는 뜻입니다. 교사는 ‘짝수 세 개’를 세는 것과 ‘짝수라는 조건 안에서 4 이상인 두 개’를 세는 것이 서로 다른 계산임을 문제의 문장과 연결해 설명합니다.

학생이 수정 풀이를 다시 구성하는 과정

설명을 들은 뒤에는 학생이 대표 문제의 조건과 정답을 보되, 앞서 적은 풀이와 정답은 가린 상태에서 다시 시작하게 합니다. 학생은 먼저 “짝수라는 것을 알고 있으므로 가능한 결과를 {2, 4, 6}만 남긴다”고 적고, 이 조건 안에서 4 이상인 결과가 4와 6임을 확인합니다. 이어 전체 경우 세 개 중 원하는 경우 두 개이므로 2/3이라고 답합니다. 이때 학생이 처음 답 3/6에서 바꾼 판단은 분모를 주사위 전체 여섯 결과로 두었던 부분입니다. 계산만 고치는 것이 아니라, 왜 1·3·5를 제외했는지까지 문제의 조건과 연결해 말하거나 글로 설명하는지를 확인합니다. 개념은 이해했지만 식을 세우는 과정에서 막힌다면 가능한 결과를 함께 적은 뒤 분자와 분모를 학생이 이어서 완성하게 하고, 계산에서 막혔다면 각 숫자가 무엇을 세는지 다시 확인하게 합니다.

조건을 바꾼 문제에 적용하고 다음을 확인하기

검산할 때는 같은 풀이를 그대로 반복하기보다, 최종 결과를 원래 조건에 대입해 봅니다. 답이 2/3이라는 것은 짝수로 남은 세 결과 2, 4, 6 중 두 결과가 4 이상이라는 뜻과 일치합니다. 조건을 만족하는 결과만 분모에 두었는지도 다시 확인할 수 있습니다. 이후 새 적용 문제로 “공정한 주사위의 눈이 3보다 크다고 알려졌을 때, 그 수가 홀수일 조건부확률은?”을 제시합니다. 이번에는 가능한 결과가 {4, 5, 6}이고, 그중 홀수는 5 하나이므로 답은 1/3입니다. 앞 문제와 숫자와 조건이 달라졌지만, 먼저 조건에 맞는 표본공간을 만든 뒤 그 안에서 원하는 결과를 세는 방법은 이어집니다. 학생이 이전 풀이와 정답을 가린 상태에서도 이 순서를 스스로 적용하는지, 분모가 왜 3인지 설명하는지, 새 조건에서도 답의 근거를 말하는지를 다음 확인 기준으로 삼습니다. 필요하다면 “짝수라는 조건을 알았을 때 4일 확률”을 다시 물어 4 하나를 {2, 4, 6} 중에서 세어 1/3이라고 답하는지도 확인합니다. 숫자만 맞히는지보다 조건에 따라 가능한 전체 경우가 바뀐다는 판단을 실제 문제에 적용하는지가 다음 수업의 중요한 확인점입니다.