신현동 수학과외

36을 찾았지만 왜 답이 하나가 아니었을까

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “12와 18의 공배수 중 100 이하인 양의 수를 모두 쓰라.” 학생은 “36 하나뿐이다.”라고 적었습니다. 36은 12와 18로 나누어떨어지므로 공배수라는 판단 자체는 맞습니다. 하지만 문제에서 요구한 것은 공배수 하나가 아니라 100 이하인 양의 공배수를 모두 찾는 것입니다. 따라서 36만 적은 답은 일부 조건만 만족한 오답입니다.

교사는 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않고 “36은 왜 골랐을까?”, “100 이하라는 조건은 풀이의 어느 단계에서 사용했을까?”라고 묻습니다. 학생이 이유를 바로 설명하기 어렵다면 36을 12와 18로 각각 나누어 나머지가 0인지 함께 확인한 뒤, 36 다음에도 같은 조건을 만족하는 수가 있는지 한 단계씩 살펴봅니다.

공배수와 범위 조건을 나누어 확인하기

이 문제에서 나눗셈의 나머지가 0이라는 조건은 어떤 수가 12와 18의 공배수인지 판단하게 합니다. 반면 ‘100 이하’는 찾은 수를 어디까지 선택할지 정하는 범위 조건입니다. 두 조건은 서로 다른 역할을 하므로, 공배수를 하나 찾았다는 이유만으로 탐색을 끝내면 안 됩니다.

교사는 12와 18의 공통된 배수를 직접 나열하는 방법을 설명합니다. 두 수의 최소공배수는 36입니다. 실제로 12=2²×3, 18=2×3²이므로 최소공배수는 2²×3²=36입니다. 따라서 12와 18의 공배수는 36의 배수로 찾을 수 있습니다. 다만 이 문제에서는 36의 배수 중에서도 양수이고 100 이하인 수만 골라야 합니다.

수정 풀이를 직접 다시 구성하고 검산하기

설명을 들은 뒤 학생은 처음 답에서 ‘36을 찾은 뒤 멈춘 판단’을 바꾸어, 최소공배수의 배수를 순서대로 적습니다. 36, 72, 108, … 중에서 문제의 범위에 들어오는 수를 고르면 36과 72입니다. 108은 100을 넘으므로 제외합니다. 따라서 답은 36, 72입니다. 36은 12와 18로 나누어떨어지고, 72도 12와 18로 나누어떨어집니다.

검산에서는 풀이를 그대로 반복하지 않고 조건에 대입해 확인합니다. 36÷12=3, 36÷18=2이고, 72÷12=6, 72÷18=4이므로 두 수 모두 나머지가 0입니다. 반면 다음 배수인 108은 공배수이지만 100 이하라는 조건을 만족하지 않습니다. 풀이 순서를 외워 적은 경우에는 교사가 수정 풀이와 정답을 가리고 같은 문제를 다시 제시해, 학생이 최소공배수의 배수를 나열하고 범위를 적용하는 과정을 스스로 재현하는지 확인합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단을 확인하기

새 문제로 “6과 8의 공배수 중 100 이하인 자연수를 모두 써라.”를 제시합니다. 이전 문제와 달라진 것은 두 수이며, ‘100 이하’라는 범위 조건은 그대로입니다. 6과 8의 최소공배수는 24이므로 24의 배수인 24, 48, 72, 96 중 100 이하인 수를 모두 고르면 됩니다. 답은 24, 48, 72, 96입니다. 학생이 최소공배수를 구한 뒤 배수를 빠뜨리지 않고 범위까지 확인하는지가 핵심입니다.

필요하다면 “최소공배수는 언제나 두 수의 곱이다.”라는 설명도 비교해 볼 수 있습니다. 16과 24의 최대공약수는 8이므로 최소공배수는 16×24÷8=48입니다. 두 수의 곱 384를 그대로 최소공배수로 볼 수 없는 이유는 공통으로 포함된 약수 8이 중복되기 때문입니다. 다음 수업에서는 새 적용 문제의 풀이와 정답을 가리고 풀게 한 뒤, 답의 근거를 말하고 조건이 달라져도 같은 방법을 적용하는지 확인합니다.