가좌동 수학과외

대표 문제에서 5xy로 합친 이유 살펴보기

다음 문제에서 학생이 2x+3y를 5xy로 합쳤다고 가정해 보겠습니다. 이 답은 계수 2와 3을 더한 뒤 문자 x와 y도 곱한 결과입니다. 하지만 문제에서 x와 y는 서로 다른 문자이므로 두 항의 문자 부분은 같지 않습니다. 따라서 2x와 3y는 동류항이 아니며, 주어진 식은 더 간단한 한 항으로 합칠 수 없이 2x+3y로 둡니다.

교사는 먼저 “2x와 3y에서 계수와 문자 부분은 각각 무엇인가요?”라고 묻고, “문자 부분이 같아야 계수끼리 더할 수 있다는 조건을 적용했나요?”라고 확인합니다. 학생이 왜 5xy라고 했는지 바로 설명하지 못하더라도, 2와 3을 더한 부분과 x와 y를 곱한 부분을 나누어 함께 살펴봅니다. 이때 2x+3x처럼 문자 부분이 같은 경우에는 2와 3을 더해 5x가 되지만, x와 y가 다르면 같은 연산을 적용할 수 없다는 차이를 짚습니다.

문자 부분이 같은지 확인하고 수정 풀이하기

이 오답만으로 계산 실수인지 개념을 잘못 적용한 것인지 단정하지 않습니다. 교사는 먼저 학생에게 “문자 이름이 같은 항끼리만 계수를 합친다”는 말을 해 보게 한 뒤, 그 설명을 대표 문제에 실제로 적용하도록 합니다. 개념은 말할 수 있지만 답이 5xy로 나왔다면, 처음 식의 조건을 읽는 과정에서 x와 y를 같은 문자처럼 판단했는지 확인합니다.

학생은 수정 풀이에서 2x의 문자 부분이 x이고 3y의 문자 부분이 y라는 점을 확인합니다. 두 문자 부분이 다르므로 계수 2와 3을 더해 하나의 항으로 만들 수 없고, x와 y를 곱할 근거도 문제에 없습니다. 따라서 식의 값은 2x+3y로 유지합니다. 교사가 2x 부분을 함께 확인해 준 뒤에는 학생이 3y를 다시 살펴보고, “문자 부분이 다르므로 동류항이 아니어서 합치지 않는다”고 결론까지 직접 말하고 쓰도록 합니다.

값을 대입해 5xy와 결과가 다른지 검산하기

수정한 식이 문제의 연산과 맞는지는 간단한 값으로 확인할 수 있습니다. x=1, y=2를 대입하면 원래 식 2x+3y는 2×1+3×2=8입니다. 반면 잘못 합친 5xy는 5×1×2=10이므로 원래 식과 값이 다릅니다. 이 비교는 계수만 더한 뒤 문자까지 곱하는 것이 원래 식의 값을 보존하지 못한다는 점을 보여 줍니다.

이후에는 풀이 순서를 그대로 외웠는지 확인하지 않기 위해 수정 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 2x+3y를 다시 판단하게 합니다. 혼자 시작하지 못하면 교사가 문자 부분만 먼저 질문하고, 계산에서 막힌 것이 아니라면 필요한 개념 설명을 짧게 보탭니다. 다른 방식으로 설명하더라도 문자 부분이 같다는 조건과 계산 결과가 맞으면 같은 풀이로 인정합니다.

새 식과 차수가 다른 항에 적용하기

다음 적용 문제는 4x+7y를 11xy로 합칠 수 있는가?입니다. 기본 문제와 계수는 달라졌지만 x와 y가 서로 다른 문자라는 핵심 조건은 같습니다. 따라서 4x와 7y는 동류항이 아니며, 4와 7을 더하거나 x와 y를 곱하지 않고 4x+7y로 둡니다. 학생이 이 문제를 풀 때 앞의 정답을 베끼는 것이 아니라, 두 항의 문자 부분을 먼저 비교해 같은 결론에 이르는지를 확인합니다.

필요하다면 “문자 이름이 같으면 차수가 달라도 계수를 합친다”는 설명이 항상 맞는지도 이어서 살펴볼 수 있습니다. 예를 들어 5x+x²을 6x²으로 정리할 수 있는지 묻습니다. x=2일 때 원래 식은 5×2+2²=14이고, 6x²은 6×2²=24이므로 두 식은 같지 않습니다. x와 x²은 문자 이름에 x가 들어가더라도 항의 문자 부분과 차수가 달라 동류항이 아닙니다. 다음 수업에서는 학생이 기본 문제와 새 식을 가리고 다시 해결한 뒤, 왜 계수를 합칠 수 있는지 조건을 설명하고 차수가 다른 항에도 같은 판단을 무리하게 적용하지 않는지 확인합니다.