단계동 수학과외

대각 성분만 남는다는 오답에서 출발하기

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 단위행렬 I=[[1,0],[0,1]], 행렬 A=[[2,3],[4,5]]일 때 AI를 구하는 문제입니다. 학생은 결과를 [[2,0],[0,5]]라고 썼습니다. 이 답은 A의 대각 성분 2와 5만 남기고, 대각선 밖의 3과 4를 없앤 결과입니다. 그러나 문제에서 구하는 것은 A의 일부 성분이 아니라 행렬 A와 I의 곱 전체입니다.

교사는 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않고, 학생이 왜 3과 4를 지웠는지 먼저 확인합니다. “단위행렬을 곱하면 대각 성분만 남는다고 생각했나요, 아니면 행과 열을 연결하는 곱셈을 끝까지 계산하지 않았나요?”라고 묻고, 학생이 처음 세운 식을 다시 살펴보게 합니다. 단위행렬의 대각선 밖에 0이 있다는 사실만 보고 성분을 지우면 행렬 곱의 규칙을 적용한 것이 아닙니다. 행렬 곱에서는 왼쪽 행과 오른쪽 열을 정해, 같은 위치에 있는 수끼리 단순히 남기는 것이 아니라 곱한 뒤 더해야 합니다.

행과 열의 연결을 한 행씩 계산하기

교사는 먼저 A의 첫째 행 [2,3]과 I의 첫째 열 [1,0]을 연결합니다. 첫째 성분은 2×1+3×0=2입니다. 이어서 A의 첫째 행과 I의 둘째 열 [0,1]을 계산하면 2×0+3×1=3이 됩니다. 따라서 결과 행렬의 첫째 행은 [2,3]입니다. 여기서 3은 I의 대각선 밖에 있는 수가 아니라, A의 첫째 행과 I의 둘째 열을 곱하는 과정에서 3×1로 살아남은 값입니다.

같은 방법으로 A의 둘째 행 [4,5]와 I의 첫째 열을 계산하면 4×1+5×0=4이고, 둘째 행과 I의 둘째 열을 계산하면 4×0+5×1=5입니다. 그러므로 AI=[[2,3],[4,5]]=A입니다. 단위행렬의 1은 해당 성분을 보존하고, 0은 연결되지 않은 성분의 곱을 0으로 만들지만, 한 성분만 보고 전체 행이나 열을 삭제하지는 않습니다. 교사가 첫 번째 계산을 함께 보여 준 뒤에는 학생이 두 번째 계산부터 직접 이어 가도록 합니다.

학생은 처음의 [[2,0],[0,5]]라는 답에서, 대각선 밖의 성분을 지운 판단을 바꾸어야 합니다. 먼저 첫째 행의 두 결과를 2×1+3×0=2, 2×0+3×1=3으로 다시 쓰고, 이어 둘째 행에서 4×1+5×0=4, 4×0+5×1=5를 계산합니다. 만약 행과 열을 연결하는 이유를 말하기 어렵다면 교사는 첫 번째 항의 의미를 함께 짚고, 나머지 항은 학생이 같은 방식으로 채우게 합니다. 이렇게 계산 결과뿐 아니라 각 수가 어느 행과 열에서 왔는지도 문제 조건과 연결해 확인합니다.

원래 조건으로 결과를 검산하기

검산할 때는 같은 식을 처음부터 반복하기보다, 단위행렬이 각 열을 어떻게 바꾸는지 확인할 수 있습니다. A의 첫째 열은 [2,4]이고, AI의 첫째 열도 계산 결과 [2,4]입니다. A의 둘째 열은 [3,5]이며, AI의 둘째 열 역시 [3,5]입니다. 즉 첫 열은 A의 첫 열, 둘째 열은 A의 둘째 열로 그대로 보존됩니다. 이 검산은 결과가 [[2,0],[0,5]]라면 A의 둘째 열과 첫째 열 일부가 사라져 원래 조건과 맞지 않는다는 점도 보여 줍니다.

수업에서는 풀이 순서를 그대로 따라 쓴 뒤 끝내지 않고, 수정 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제의 행렬과 단위행렬만 보고 다시 시작하게 합니다. 이때 학생이 행과 열을 올바르게 짝지으면 개념 이해를 확인할 수 있고, 짝은 맞지만 계산이 달라지면 계산 과정을 좁혀서 다시 돕습니다. 다른 풀이를 사용하더라도 행과 열의 연결과 각 성분의 계산이 맞으면 같은 정답으로 인정합니다.

영행렬과 비교해 다음 조건에 적용하기

다음 적용 문제는 A=[[2,3],[4,5]], 영행렬 O=[[0,0],[0,0]]일 때 AO를 구하는 것입니다. 앞 문제와 행렬 A는 같지만 오른쪽에서 곱하는 행렬이 단위행렬이 아니라 모든 성분이 0인 영행렬로 바뀌었습니다. A의 첫째 행과 O의 첫째 열은 2×0+3×0=0이고, 첫째 행과 둘째 열도 0입니다. 둘째 행 역시 4×0+5×0=0이므로 AO=[[0,0],[0,0]]입니다.

이 문제에서는 단위행렬의 1이 각 성분을 보존한다는 설명을 그대로 사용할 수 없습니다. 영행렬에는 1이 없으므로 모든 곱이 0이 됩니다. 먼저 이 새 문제를 보면서 이전 풀이와 정답을 가린 뒤 학생이 직접 계산하게 하고, 답을 정한 근거가 “대각 성분만 남긴다”인지 “각 행과 열의 곱의 합을 계산했다”인지 확인합니다. 이후 필요하다면 A=[[0,2],[3,0]], I=[[1,0],[0,1]]인 경우도 비교할 수 있습니다. 이때 AI=[[0,2],[3,0]]=A이므로, 대각 성분이 0이어도 대각선 밖의 성분이 사라지는 것은 아닙니다. 다음 수업에서는 학생이 새 조건에서 행과 열을 스스로 연결하고, 계산 근거를 설명하는지를 확인하며 도움의 정도를 조절합니다.