반곡동 수학과외

대표 문제에서 바뀌어야 할 판단

다음 문제를 교육용 상황으로 살펴보겠습니다. f(x)=1/x의 실수 입력에서 제외할 값은 무엇인가? 처음에는 “출력 0을 제외한다”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 하지만 이 문제에서 묻는 것은 출력값이 아니라 함수에 넣을 수 없는 입력 x입니다. 함수식의 분모가 0이면 나눗셈이 정의되지 않으므로, 분모 x를 0으로 만드는 입력 x=0을 정의역에서 제외해야 합니다.

출력 0을 제외한다는 판단은 입력과 출력의 역할이 뒤바뀐 데서 생길 수 있습니다. f(x)=1/x에서 x는 넣는 값이고 f(x)는 그 결과입니다. 또한 x가 0이 아닐 때 1/x는 항상 0이 아닌 값이므로, 이 함수에서 출력 0이 나오지 않는다는 사실과 입력 x=0을 넣을 수 없다는 사실은 서로 다른 내용입니다. 문제의 요구가 어느 대상을 가리키는지 먼저 확인해야 합니다.

왜 x=0을 제외하는지 함께 확인하기

교사는 학생이 왜 출력 0을 제외했다고 생각했는지 먼저 듣고, 말로 설명하기 어려워하면 입력과 출력의 자리를 식에서 함께 짚습니다. “문제에서 제외하라고 한 값은 x인가, f(x)인가?”를 확인한 뒤, x에 0을 직접 넣어 보게 합니다. 그러면 f(0)=1/0이 되어 분모가 0인 나눗셈이 생기므로 함수값을 정할 수 없습니다. 이때 필요한 기준은 특정 출력값이 아니라 정의되지 않는 연산을 만드는 입력을 찾는 것입니다.

함수는 정의역의 입력 하나에 대해 출력 하나가 정해지는 관계입니다. 따라서 먼저 함수의 조건을 만족하는 입력인지 확인하고, 그 입력에서 계산 결과가 정해지는지 살펴봐야 합니다. 개념은 설명하지만 결과가 틀린 경우라면, 교사는 처음 식을 세운 단계와 조건을 읽은 방식을 나누어 확인합니다. 단순 계산 실수인지, 입력과 출력의 의미를 바꿔 이해한 것인지에 따라 다음 도움을 조절할 수 있습니다.

학생의 수정 풀이와 검산

설명을 들은 학생은 대표 문제를 다시 풀면서 “구해야 하는 것은 제외할 입력이고, 분모가 0이 되는 입력을 찾는다”고 정리합니다. 분모가 x이므로 x=0일 때 분모가 0이 되고, 0으로 나누는 연산은 정의되지 않습니다. 따라서 정의역에서 x=0을 제외하고, 제외할 실수 입력은 0이라고 답합니다. 처음의 “출력 0을 제외한다”는 판단은 출력값을 조사한 것이고, 문제에 맞는 수정은 함수식의 분모를 조사한 것이라고 설명할 수 있어야 합니다.

검산에서는 풀이를 그대로 반복하기보다 원래 함수의 관계를 이용합니다. x가 함수의 정의역에 속하면 f(x)=1/x이므로 x×f(x)=1이 성립해야 합니다. 그런데 x=0에서는 f(0) 자체가 정의되지 않아 이 관계를 만족시키는 함수값을 정할 수 없습니다. 반대로 x가 0이 아닌 경우에는 1/x가 정해지므로, 주어진 조건 안에서 제외해야 할 입력이 0이라는 결론을 확인할 수 있습니다. 학생이 풀이 순서를 외워 쓴 경우에는 수정 풀이와 정답을 가리고 문제의 조건만 다시 보게 하여, 분모를 찾아 제외값을 직접 결정하는지 확인합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단을 확인하기

이제 별도의 적용 문제로 f(x)=1/(x-7)에 x=7을 입력할 수 있는가?를 제시합니다. 이번에는 분모가 x-7이므로 x=7을 넣으면 분모가 0이 됩니다. 따라서 f(7)은 정의되지 않고, 정의역에서 7을 제외해야 합니다. 앞 문제의 숫자 0을 그대로 외우는 것이 아니라, 분모 전체를 0으로 만드는 입력을 찾는 방법을 새 조건에도 적용해야 합니다.

필요하다면 f(x)=1/(x-5)를 비교 자료로 사용할 수 있습니다. 이 함수의 제외값은 5이며, x=0에서는 f(0)=-1/5로 정의됩니다. 따라서 분모에 문자가 있다고 해서 언제나 x=0을 제외하는 것은 아니며, 분모 전체를 0으로 만드는 값을 찾아야 합니다. 다음 수업에서는 학생이 새 문제의 수치와 조건을 확인한 뒤 이전 풀이와 정답을 가린 상태에서 스스로 제외값을 구하고, 왜 그 값을 제외하는지 설명하는지를 확인합니다. 비교 문제는 같은 방법을 적용할 수 있는 조건과 그렇지 않은 경우를 구분할 필요가 있을 때 선택해 활용합니다.