학성동 수학과외

대표 문제에서 어긋난 판단

다음 문제를 교육용 상황으로 살펴보겠습니다. AB=AC인 이등변삼각형 ABC에서 꼭짓각 ∠A의 이등분선이 밑변 BC를 수직이등분하는가? 처음에는 “각과 변은 무관해 아니다”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 이 답은 각의 이등분선과 변의 관계를 단순히 서로 다른 개념으로만 보고, AB=AC라는 조건이 풀이에 어떤 역할을 하는지 사용하지 않은 판단입니다. 다만 이 한 문장만으로 계산 실수인지 개념을 잘못 적용한 것인지 단정하지 않고, 교사는 “AB=AC라는 조건으로 어떤 두 삼각형을 비교할 수 있을까?”라고 묻습니다. 학생이 바로 설명하지 못하면 이등변삼각형을 꼭짓점 A에서 밑변 BC의 한 점 D로 나누는 상황을 함께 살펴봅니다.

조건을 나누어 확인하는 수업

교사는 먼저 D를 ∠A의 이등분선과 BC의 교점이라고 둡니다. 그러면 AD는 두 삼각형 ABD와 ACD에 공통으로 들어가고, ∠BAD와 ∠CAD는 AD가 ∠A를 이등분하므로 서로 같습니다. 여기에 문제에서 주어진 AB=AC를 사용하면 두 삼각형은 두 변과 그 끼인각이 각각 같은 SAS 합동입니다. 이때 외심과 내심의 성질을 섞지 않도록, 외심은 세 꼭짓점까지의 거리를 비교하는 점이고 내심은 세 변에 내린 수선의 길이를 비교하는 점이라고 구별해 줍니다. 이 문제의 핵심은 원의 중심을 찾는 것이 아니라, 같은 두 삼각형을 합동으로 판단하는 데 있습니다.

학생이 합동의 이유를 한 번에 정리하기 어렵다면 교사는 AB와 AC가 대응하는 변이라는 점, AD는 두 삼각형에 공통인 변이라는 점, A에서 나뉜 두 각이 끼인각이라는 점을 먼저 짚어 줍니다. 그런 다음 학생이 “AB=AC, AD는 공통, ∠BAD=∠CAD이므로 △ABD≅△ACD”라고 직접 식을 세우게 합니다. 처음의 “각과 변은 무관하다”는 판단을, 각의 이등분선이 만든 두 삼각형에 주어진 변의 같음이 결합될 수 있다는 판단으로 고치는 과정입니다.

학생의 수정 풀이와 검산

학생은 합동에서 대응하는 변이 같다는 사실에 따라 BD=DC라고 결론을 냅니다. 따라서 D는 BC의 중점입니다. 또한 합동으로 대응하는 각이 같으므로 ∠ADB=∠CDA입니다. B, D, C가 한 직선 위에 있으므로 이 두 각의 합은 180°이고, 서로 같은 두 각은 각각 90°입니다. 따라서 AD는 BC를 수직으로 만나며, 동시에 BC를 이등분합니다. 그러므로 ∠A의 이등분선 AD는 이 문제의 조건에서 밑변 BC의 수직이등분선과 일치합니다.

검산할 때는 같은 합동 풀이를 처음부터 반복하기보다 결론이 원래 조건과 맞는지 확인합니다. BD=DC이고 두 각이 각각 90°라면 D는 BC의 중점이면서 AD와 BC가 수직으로 만나는 점입니다. 이 결과는 “각의 이등분선과 변은 무관하다”는 처음 판단과 달리, AB=AC라는 조건이 있을 때 두 삼각형의 합동을 통해 두 관계가 연결된다는 것을 보여 줍니다. 풀이와 정답을 가린 뒤 학생이 다시 문제를 해결하게 하고, 막히는 지점이 합동 조건인지 각의 관계인지에 따라 도움의 양을 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음을 확인하기

새 적용 문제로 “AB=AC인 삼각형에서 꼭짓각 A의 이등분선이 BC와 D에서 만날 때, BD=DC인 근거는 무엇인가?”를 제시합니다. 문제의 조건과 점 D의 위치는 보여 주되, 앞의 풀이와 정답은 가린 상태에서 학생이 다시 시작합니다. 학생은 AB=AC, AD는 공통, ∠BAD=∠CAD이므로 △ABD와 △ACD가 SAS 합동이라고 설명하고, 그 대응변으로 BD=DC를 얻어야 합니다. 여기서는 수직이라는 결론까지 먼저 요구하지 않고, 밑변이 이등분되는 근거를 정확히 말하는지를 확인합니다.

조건이 달라지면 결론도 달라질 수 있습니다. 예를 들어 AB=4, AC=6인 삼각형에서 꼭짓각의 이등분선이 BC와 만나는 점을 D라 하면, 각의 이등분선 정리에 따라 BD:DC=AB:AC=4:6=2:3입니다. 두 옆변이 같지 않으므로 BD와 DC가 같다고 할 수 없습니다. 따라서 이등변삼각형에서 얻은 결과를 모든 삼각형에 그대로 확대하지 않는지가 다음 확인 내용입니다. 학생이 수정 풀이를 가리고 다시 근거를 구성하는지, 각과 변의 관계를 조건과 연결해 설명하는지, AB=AC가 아닌 경우에는 결론을 조정하는지를 다음 수업에서 살펴봅니다.