단구동 수학과외

수평거리 8m를 사인으로 계산한 이유

직각삼각형과 비를 확인하기 위해 다음 문제를 살펴보겠습니다. 관측 지점에서 탑 밑동까지의 수평거리가 8m이고, 탑 꼭대기를 올려다본 각이 45°입니다. 관측자의 눈높이는 지면과 같다고 가정할 때, 구해야 하는 값은 탑의 높이입니다. 이 문제에서 수평거리는 올려다본 각에 붙어 있는 직각삼각형의 한 변이고, 탑의 높이는 그 각의 맞은편에 있는 수직변입니다.

다음 문제에서 학생이 “높이는 8sin45°m이다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. sin은 맞은편 변과 빗변의 비이므로, 8m가 빗변이라는 조건이 있을 때 사용할 수 있습니다. 하지만 이 문제에서 8m는 수평거리이며 빗변이 아닙니다. 따라서 이 답만 보고 계산 실수라고 바로 단정하기보다는, 학생이 8m를 어떤 변으로 판단했는지 먼저 확인해야 합니다.

각도에 맞춰 맞은편 변과 이웃한 변을 구분하기

교사는 문제의 45°가 수평선과 탑을 바라보는 선 사이의 각이라는 점을 짚습니다. 학생이 막힌 이유를 바로 설명하지 못하면, 수평거리 8m와 수직높이를 각각 표시하고 두 변이 올려다본 각을 기준으로 어떤 위치에 있는지 함께 살펴봅니다. 이 각에서 수직높이는 맞은편 변이고, 수평거리 8m는 각에 붙어 있는 직각변입니다. 빗변은 관측 지점에서 탑 꼭대기까지 이어지는 선이지만, 그 길이는 문제에서 8m라고 주어지지 않았습니다.

그다음 교사는 “맞은편 변과 이웃한 직각변의 비를 나타내는 삼각비는 무엇인가?”라고 묻습니다. 학생이 탄젠트의 뜻을 말하기 어렵다면, tan(각)=맞은편 변/이웃한 직각변이라는 한 단계만 함께 확인하고 나머지 식은 다시 세워 보게 합니다. 기준각을 바꾸면 각 변의 역할도 바뀌므로, 어떤 삼각비를 사용할지는 숫자를 외우는 것이 아니라 주어진 각과 변의 위치를 보고 결정해야 합니다.

탄젠트로 수정 풀이를 다시 구성하기

학생은 처음의 “8sin45°m”이라는 식에서 8m를 빗변으로 사용한 판단을 바꾸고, 문제 조건에 맞게 수평거리와 수직높이를 다시 표시합니다. 탑의 높이를 h라고 하면, 45°를 기준으로 h는 맞은편 변이고 8m는 이웃한 직각변이므로 h/8=tan45°입니다. 45°에서 tan45°=1이므로 h/8=1이고, 양변에 8을 곱하면 h=8입니다. 따라서 탑의 높이는 8m입니다.

학생이 식을 세운 뒤에도 계산에서 멈춘다면, 교사는 “h/8에서 h와 8은 각각 무엇을 뜻하는가?”를 확인하며 필요한 부분만 함께 계산합니다. 학생은 수평거리 8m가 분모에 놓이는 이유를 문제의 조건과 연결해 말하고, 높이 h=8m라는 결론까지 직접 구합니다. 중요한 것은 사인보다 탄젠트라는 이름을 고르는 데 그치지 않고, 8m가 빗변이 아니라 이웃한 직각변이라는 판단을 풀이에 반영하는 것입니다.

조건에 대입한 검산과 새 수치에 적용하기

이 삼각형은 직각을 하나 가지고 있고 한 예각이 45°이므로 나머지 예각도 45°입니다. 따라서 두 직각변의 길이가 같은 직각이등변삼각형으로 볼 수 있습니다. 수평거리와 수직높이가 모두 8m가 되었으므로, 탄젠트의 비는 8/8=1이고 tan45°의 값과 일치합니다. 이는 풀이를 그대로 반복한 것이 아니라, 구한 높이가 45°와 두 변의 관계에 맞는지 조건으로 확인한 것입니다.

이제 기본 문제와 구분되는 새 적용 문제를 보겠습니다. 수평면에서 탑 밑동까지의 수평거리가 12m이고, 탑 꼭대기를 올려다본 각을 θ라 할 때 tanθ=3/4라고 하겠습니다. 관측 높이는 0으로 둡니다. 이번에도 탑의 높이를 h라 하면 h/12=3/4이므로 h=9m입니다. 여기서 12m는 여전히 수평거리이므로 빗변으로 사용하지 않습니다. 이전 문제와 달라진 것은 각이 45°라는 정보 대신 tanθ의 값이 주어졌다는 점이고, 맞은편 변과 이웃한 직각변을 연결하는 방법은 그대로 적용됩니다.

추가로 수평거리 5m, 올려다본 각 45°, 관측자의 눈높이 1.5m인 경우를 비교할 수 있습니다. 눈에서 탑 꼭대기까지의 높이 차는 5m이지만, 지면에서 잰 대상의 전체 높이는 관측자의 눈높이 1.5m를 더한 6.5m입니다. 따라서 관측 높이를 0으로 둔 기본 문제의 답을 그대로 옮길 수 없습니다. 다음 수업에서는 풀이와 정답을 가린 뒤 문제의 조건만 보고 학생이 수평거리, 수직높이, 관측 높이를 구분해 다시 해결하는지, 그리고 새 조건에서 답의 근거를 설명하는지를 확인합니다.