대구 수학과외

21의 약수를 확인하지 않고 내린 결론

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “21이 소수인지 판별하라.”는 문제를 보고 학생이 “21은 홀수이므로 소수다.”라고 썼습니다. 하지만 홀수라는 사실만으로 소수라고 결론 내릴 수는 없습니다. 소수는 1보다 큰 자연수 중 양의 약수가 1과 자기 자신, 정확히 두 개인 수이므로, 홀수인지보다 다른 약수가 있는지를 확인해야 합니다.

이때 교사는 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않고 “21이 홀수라는 것 외에, 1과 21 사이에서 21을 나누어떨어지게 하는 수가 있는지 찾아볼까?”라고 묻습니다. 학생이 약수의 뜻은 설명하지만 문제에 적용하지 못한 것인지, 아니면 홀수와 소수의 관계를 잘못 이해한 것인지 구분하기 위해서입니다. 학생이 이유를 바로 말하지 못하더라도 교사가 3을 대입해 나누어떨어지는지 한 단계 함께 확인한 뒤, 이어지는 판단은 학생이 해 보도록 돕습니다.

홀수 조건과 소수의 정의를 구분하기

21은 홀수이지만 3으로 나누어떨어집니다. 실제로 21=3×7이므로 3과 7이라는 인수쌍이 있고, 이는 1과 21 이외의 약수가 있다는 뜻입니다. 따라서 21은 소수가 아니라 합성수입니다. 여기서 바꾸어야 할 판단은 “홀수이면 소수”라는 연결입니다. 홀수라는 조건은 2로 나누어떨어지지 않는다는 뜻일 뿐, 다른 홀수 약수가 없다는 뜻은 아닙니다.

교사는 학생에게 21을 1×21, 3×7처럼 인수쌍으로 나타내 보게 합니다. 학생이 3×7을 바로 떠올리지 못하면 21을 3으로 나누어 몫이 자연수가 되는지 함께 살펴보고, 그 결과가 7이라는 점을 확인합니다. 그런 다음 학생은 처음 답에서 “홀수이므로”라고만 판단했던 부분을 고쳐, “21은 3과 7의 곱으로 나타낼 수 있으므로 1과 자기 자신 이외의 약수가 있다.”라고 문제의 조건과 연결해 결론을 다시 씁니다.

수정 풀이를 가리고 다시 확인하는 과정

수정 풀이를 확인한 뒤에는 답을 그대로 베껴 쓰는지 보지 않도록, 문제의 수치와 질문만 남기고 앞서 쓴 풀이와 정답은 가린 상태에서 21이 소수인지 다시 판단하게 합니다. 학생은 먼저 소수의 정의를 떠올린 뒤, 1과 21 이외의 약수가 있는지 확인하고 21=3×7을 세웁니다. 이 식에서 3과 7은 단순히 계산에 나온 숫자가 아니라 21을 나누어떨어지게 하는 인수라는 점도 함께 설명합니다.

검산은 같은 인수분해를 반복해서 쓰는 데 그치지 않고 양의 약수를 직접 세어 보는 방식으로 진행할 수 있습니다. 21의 양의 약수는 1, 3, 7, 21이므로 모두 네 개입니다. 소수가 되려면 양의 약수가 정확히 두 개여야 하므로, 이 결과도 21이 합성수라는 판단과 일치합니다. 학생이 인수쌍은 찾았지만 약수의 개수와 소수의 정의를 연결하지 못한다면 정의 설명을 다시 하고, 계산에서 막혔다면 나눗셈 과정을 짧게 나누어 도움을 조절합니다. 다른 방법을 사용하더라도 조건과 계산이 맞으면 같은 풀이로 인정합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단을 확인하기

새 적용 문제로 “홀수 35가 소수인지 인수쌍으로 확인하라.”를 제시할 수 있습니다. 이번에는 21이 아니라 35로 수가 바뀌었지만, 확인해야 할 핵심 조건은 같습니다. 홀수라는 사실만 보지 말고 1과 자기 자신 이외의 인수쌍이 있는지 찾는 것입니다. 35=5×7이므로 5와 7이 인수쌍이고, 35는 합성수입니다. 학생이 이 문제에서 먼저 인수쌍을 찾고, 그 결과를 소수의 정의와 연결해 설명하는지를 확인합니다.

필요하다면 “2가 아닌 홀수는 모두 소수다.”라는 설명이 항상 맞는지도 비교할 수 있습니다. 홀수 27은 27=3×9로 나타나므로 1과 자기 자신 이외의 약수가 있는 합성수입니다. 이 비교는 홀수라는 조건만으로 소수를 판단할 수 없다는 점을 더 분명하게 확인하는 자료입니다. 다음 수업에서는 새 문제의 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 인수쌍을 스스로 찾는지, 왜 합성수라고 판단했는지 근거를 말하는지, 수가 달라져도 같은 확인 절차를 적용하는지를 살펴볼 수 있습니다.