대구 고등수학과외

“(x+3)²=x²+9”에서 빠진 항 찾기

예시 답안에 “(x+3)²=x²+9”라고 적혀 있다면, 먼저 정답만 바로 말하기보다 어떤 곱셈이 빠졌는지 확인한다. 실수 x에 대해 (x+3)²은 한 항을 제곱한다는 뜻이 아니라 (x+3)(x+3)으로 바꾸어 두 인수의 모든 항을 곱해야 한다. 이때 확인 질문은 “x·3과 3·x는 각각 어느 항인가?”이다. 두 곱은 서로 다른 위치에서 생기지만 모두 같은 차수의 교차항이며, 각각 3x이므로 합치면 6x가 된다.

이 한 줄의 오답만으로 분배법칙을 모른다고 단정할 수는 없다. 곱셈의 구조 자체를 모르는지, 구조는 알지만 가운데 항을 쓰는 과정에서 특정 항을 빠뜨렸는지 나누어 살핀다. 학생이 먼저 (x+3)(x+3)을 쓰고, 첫 번째 x가 만드는 x²+3x까지만 비교한 뒤 남은 곱을 직접 표시하게 한다. x·x, x·3, 3·x, 3·3처럼 네 곱의 출처를 각각 남기면 계수와 차수를 함께 점검할 수 있다.

항의 출처를 표시하며 수정 풀이 쓰기

첫 번째 인수의 x를 두 번째 인수와 곱하면 x²+3x가 된다. 이제 첫 번째 인수의 3이 만드는 3x+9를 학생이 이어서 적는다. 따라서 전체 식은 x²+3x+3x+9이고, 같은 차수의 항을 모으면 x²+6x+9이다. 여기서 3x와 3x를 하나의 항처럼 처음부터 생략하지 말고, 각각 어느 곱에서 왔는지 표시한 다음 계수를 더하는 순서를 지키는 것이 중요하다. 이 과정은 배움노트 고등수학 수업에서 항등식의 전개를 연습할 때도 단순 암기보다 오류의 위치를 찾게 해 준다.

정답이 맞는지는 분배법칙으로 네 곱이 모두 대응되는지 확인한다. 원래 식을 x=1에 대입하면 (1+3)²=16이고, 수정한 식 1+6+9도 16이다. 반면 오답식 x²+9는 10이므로 같은 값을 나타내지 않는다. 이 수치 대입은 모든 실수에서의 동치를 대신하는 근거가 아니라, 빠진 교차항이 실제 계산값을 바꾸는지 보는 부분 검산이다. 항등식으로 성립하려면 임의의 실수 x에 대해 네 곱의 대응과 동류항 정리가 함께 맞아야 한다.

부호가 바뀐 식에 다시 적용하기

이제 대표 식과 실수라는 조건만 남기고 풀이와 정답은 가린 채 (2x−1)²을 전개한다. 문제의 표현만 바뀐 것인지, 실제로 부호 조건이 달라진 것인지 구별하면서 두 인수의 −1을 각각 표시한다. (2x−1)(2x−1)에서 네 곱은 4x², −2x, −2x, (−1)(−1)이다. 따라서 4x²−2x−2x+1=4x²−4x+1이 된다. 교차항은 음수 두 개가 더해져 −4x가 되고, 상수항은 음수끼리 곱하므로 양수 1이다.

완성한 식을 다시 (2x−1)(2x−1)의 항별 곱과 대조하고, x=0을 대입해 상수항이 1인지 확인한다. 만약 전개와 계수 비교가 섞여 또 틀린다면 한 번에 전체 식을 고치려 하지 말고 x²항, x항, 상수항처럼 한 차수의 항만 모으는 연습으로 돌아간다. 다음 점검에서도 문제·조건·필수 자료만 제시하고 유도 표시와 정답은 가린다. “x·3과 3·x는 각각 어느 항인가?”에 근거를 들어 답한 뒤, 항의 출처와 부호를 직접 표시하며 수정 풀이를 다시 쓸 수 있는지 확인한다.