대구서구 고등수학과외

확률과 통계에서 독립과 배반, 확률의 곱셈은 추출 뒤의 조건이 바뀌는지 확인해야 정확히 연결할 수 있다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 다음과 같은 문제를 놓고, 계산 결과보다 조건을 읽은 순서와 식의 의미를 먼저 점검한다.

복원하지 않는 두 번 추출과 예시 오답

빨강 공 3개와 파랑 공 2개가 있다. 같은 크기의 공을 두 번 균등하게 추출하되, 첫 공은 돌려놓지 않는다. 두 공이 모두 빨강일 확률을 구하는 문제다. 이때 “첫 번째도 빨강일 확률이 3/5이고 두 번째도 빨강일 확률이 3/5이므로 (3/5)²=9/25”라고 답했다면, 첫 추출 뒤 공의 구성이 그대로라는 판단이 들어간 것이다.

식 자체가 계산상 틀린 것이 아니라, 복원하지 않는다는 조건과 맞지 않는다. 첫 공이 빨강이면 남은 공은 빨강 2개, 파랑 2개이므로 둘째 추출에서 빨강일 확률은 3/5가 아니라 2/4이다.

독립인지 확인하고 조건부 확률로 고치기

처음부터 오답의 원인을 하나로 단정하지 않고 “첫 공이 빨강이면 둘째 추출의 구성은 어떻게 되는가?”라고 묻는다. 학생이 남은 빨강과 파랑의 개수를 직접 표시하게 하면, 독립을 ‘동시에 일어날 수 없는 경우’로 이해한 것인지, 표본 구성의 변화를 빠뜨린 것인지 구분할 수 있다.

독립이라면 P(A∩B)=P(A)P(B)가 성립한다. 반면 배반은 A∩B가 공집합이라는 뜻이다. 양의 확률을 가진 배반사건은 교집합 확률이 0이므로, 두 확률의 곱과 같을 수 없어 독립이 아니다. 이 문제에서는 첫 번째 결과가 둘째 추출의 구성을 바꾸므로 독립으로 바로 곱하지 않고 조건부 확률을 사용한다.

학생은 첫 빨강이 나온 뒤의 경우를 표에 적고 다음 식을 직접 완성한다. P(첫째 빨강)×P(둘째 빨강｜첫째 빨강)=(3/5)(2/4)=3/10. 따라서 정답은 3/10이다. 동시 추출로 바꾸어 빨강 2개를 고르는 경우를 세면 3C2/5C2=3/10이므로, 수정한 식과 대조해 계산을 확인할 수 있다.

복원 여부를 바꿔 다시 판단하기

이제 문제와 필요한 수치만 남긴다. 빨강 3개, 파랑 2개의 공을 매번 돌려놓고 충분히 섞은 뒤 두 번 추출할 때, 둘 다 빨강일 확률을 구한다. 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생은 먼저 “매번 돌려놓는다”는 조건을 표시하고, 첫째와 둘째의 빨강 확률이 각각 3/5로 유지되는지 적는다.

이번에는 한 번의 결과가 다음 추출의 구성에 영향을 주지 않으므로 두 추출은 독립이다. 따라서 (3/5)(3/5)=9/25이고, 공을 구별한 순서쌍 25개 중 빨강·빨강인 경우 9개라는 방식으로도 확인할 수 있다. 결과가 0 이상 1 이하인지 살피는 것도 검산의 한 부분이다. 같은 문제의 표현만 바뀐 것인지, 실제로 복원 조건이 바뀐 것인지 구별하면서 계산 결과와 성립 조건을 각각 적게 하면, 다음 문제에서도 교집합 확률과 두 확률의 곱을 직접 비교해 독립 여부를 점검할 수 있다.