송천지구 고등수학과외

구간이 달라지면 곡선의 위아래도 다시 확인한다

0≤x≤2에서 y=x와 y=x² 사이의 넓이를 구한다고 하자. 기본 문제와 달리 구간이 교점 x=1을 지나므로 한 번의 정적분으로 끝내기 어렵다. 먼저 두 곡선의 교점을 구하면 x=x²에서 x=0, 1을 얻는다. 0≤x≤1에서는 x−x²=x(1−x)≥0이므로 직선 y=x가 위에 있고, 1≤x≤2에서는 x²−x=x(x−1)≥0이므로 포물선 y=x²가 위에 있다. 따라서 넓이는 ∫₀¹(x−x²)dx+∫₁²(x²−x)dx로 나누어야 한다. 계산하면 첫 부분은 1/6, 둘째 부분은 5/6이므로 전체 넓이는 1이다. 이때 ∫₀²(x−x²)dx처럼 부호를 나눈 채 계산하면 2/3이라는 부호 있는 누적량이 나오며, 도형의 넓이와 같지 않다.

기본 문제의 오답에서 위아래 기준을 확인한다

이제 y=x와 y=x²로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 상황으로 돌아간다. 이렇게 답했다면, ∫₀¹(x²−x)dx=−1/6이라는 결과부터 고치려 하지 않고 “0<x<1에서 x와 x² 중 어느 쪽이 큰가?”를 먼저 묻는다. 실제로 0<x<1에서는 x−x²=x(1−x)>0이므로 직선이 위에 있다. 학생은 그래프를 다시 그리거나 임의의 한 점을 대입해 두 함수값을 표시하고, 교점 x=0,1을 계산해 구간을 확인한다. 이 행동으로 부호 있는 누적량과 양의 크기를 혼동했는지, 또는 곡선의 위아래가 바뀌는 점을 놓쳤는지를 구분할 수 있다. 위쪽 함수에서 아래쪽 함수를 빼야 하므로 넓이는 ∫₀¹(x−x²)dx=1/2−1/3=1/6이다. 적분값이 음수라는 사실은 도형의 넓이가 음수라는 뜻이 아니라, 빼는 순서가 뒤집혔다는 신호다.

계산 결과와 성립 조건을 따로 적어 다시 적용한다

정답 1/6을 적은 뒤에는 위아래 차가 구간에서 음수가 아닌지 확인하고, 넓이의 부호가 양수인지 대조한다. 이동 거리와 비교할 때도 속력의 적분은 양의 거리로 해석해야 하며, 속도를 적분한 변위와 구별해야 한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 대표 문제의 식과 구간만 남기고 정답과 검산 문장은 가린 상태에서 학생이 먼저 교점, 위아래 함수, 적분식을 직접 적게 한다. 이후 구간을 0≤x≤2로 바꾸면 같은 방법을 유지하되 x=1에서 나누어야 한다는 결론을 스스로 설명하는지 본다. 풀이와 정답을 가린 뒤에도 학생이 1/6과 1을 각각 계산하고, 두 부분 넓이의 합이 전체 도형의 크기와 맞는지 대조한다면 기준이 자리 잡은 것이다. 표현만 바뀐 문제인지 구간 자체가 바뀐 문제인지도 구별해, 교점 너머에서 위아래가 바뀌는 경우에는 반드시 구간을 나누고 각 적분의 뜻을 적도록 다음 풀이에서 다시 확인한다.