신기동 수학과외

세 변이 같은 삼각형은 왜 이등변삼각형일까

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “삼각형이 정삼각형이면 이등변삼각형인가?” 학생은 “세 변이 같은 삼각형은 두 변만 같은 삼각형과 다르므로 이등변삼각형이 아니다.”라고 판단했습니다. 이 답은 정삼각형의 조건을 확인했지만, 이등변삼각형의 정의에 들어 있는 ‘두 변 이상’이라는 표현을 ‘정확히 두 변’으로 바꾸어 해석한 데서 어긋났습니다.

정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형입니다. 이등변삼각형은 두 변 이상의 길이가 같은 삼각형으로 정의되어 있으므로, 세 변이 모두 같은 경우에도 그 정의를 만족합니다. ‘두 변 이상’은 두 변만 같아야 한다는 뜻이 아니라, 두 변 또는 그보다 많은 변이 같아도 된다는 뜻입니다. 따라서 정삼각형은 이등변삼각형에 포함됩니다.

정의와 조건을 나누어 확인하기

수업에서는 처음 답을 곧바로 외운 문장으로 고치게 하기보다, 학생이 어떤 조건을 비교했는지부터 살핍니다. 교사는 “이등변삼각형의 정의에서 반드시 필요한 말은 무엇인가?”, “두 변 이상은 정확히 두 변만을 뜻하는가?”라고 묻고, 학생이 막히면 ‘이상’이 포함하는 범위를 함께 짚습니다. 세 변의 길이가 각각 같다면 그중 어느 두 변을 골라도 길이가 같다는 사실을 말로 확인하게 합니다.

이 과정에서 ‘특정 예에서 조건을 만족했다’는 것과 ‘모든 경우에 성립한다’는 주장을 구별하는 연습도 함께 합니다. 이 문제에서는 정삼각형이라는 한 종류의 도형이 이등변삼각형의 정의를 만족하는지를 묻고 있으므로, 정삼각형의 세 변이 같다는 조건과 이등변삼각형의 두 변 이상이 같다는 정의를 직접 대조하면 됩니다. 별도의 계산이나 각도 조건을 추가할 필요는 없습니다.

설명 뒤에 다시 구성하는 풀이

교사는 “정삼각형의 세 변을 a, a, a처럼 나타내면, 여기에서 같은 길이의 두 변을 선택할 수 있지?”라고 한 부분을 먼저 풀어 보입니다. 학생은 이어서 정삼각형의 세 변이 모두 같다는 조건을 이용해 “세 변 중 어느 두 변도 같은 길이이므로 ‘두 변 이상이 같다’는 이등변삼각형의 정의를 만족한다.”라고 풀이를 고칩니다.

처음 판단에서 바뀐 부분은 ‘세 변이 같으므로 두 변만 같은 경우가 아니다’라는 해석입니다. 학생은 이제 ‘두 변 이상’을 ‘정확히 두 변’으로 바꾸지 않고, 세 변이 같은 경우가 두 변이 같은 경우를 포함한다는 점을 반영해 “정삼각형은 이등변삼각형이다.”라고 결론을 내립니다. 풀이와 정답을 가린 뒤 문제의 조건만 다시 보고, 같은 결론을 자신의 말로 구성하는지도 확인합니다.

학생이 정의의 뜻은 이해하지만 결론을 쓰는 단계에서 멈춘다면, 교사는 세 변 중 두 변을 직접 골라 같은 길이라는 문장을 먼저 완성하도록 돕습니다. 반대로 정의는 설명하지만 처음과 같은 결론을 반복한다면, ‘정확히 두 변’이라는 말이 문제에 실제로 제시되어 있는지 다시 확인하게 합니다. 다른 방식으로 설명하더라도 조건과 논리가 맞으면 인정할 수 있습니다.

검산과 새 조건에 적용하기

검산은 풀이를 그대로 반복하는 대신 정의에 조건을 대입해 확인합니다. 세 변의 길이를 a, a, a라고 하면 첫 번째와 두 번째 변은 같고, 두 번째와 세 번째 변도 같습니다. 따라서 같은 길이의 세 변 중 어느 두 변을 골라도 이등변삼각형의 조건을 만족합니다. 이때 ‘두 변 이상’을 ‘정확히 두 변’으로 바꾸지 않는지가 핵심입니다.

새 적용 문제로 “정사각형은 직사각형인가? 네 변이 같다는 조건 때문에 직사각형에서 제외되는가?”를 살펴볼 수 있습니다. 직사각형은 네 각이 모두 직각인 사각형이므로, 정사각형은 네 각이 모두 직각이라는 조건을 만족해 직사각형입니다. 네 변이 같다는 조건은 직사각형이라는 분류를 취소하는 조건이 아니라 추가 조건입니다. 이전 문제처럼 더 강한 조건을 가진 대상이 넓은 정의의 조건을 함께 만족할 수 있는지 확인하는 방식은 적용할 수 있지만, 도형의 정의 자체는 각각 따로 확인해야 합니다.

다음 확인에서는 원명제와 역명제를 구분하는 문제를 선택할 수 있습니다. “정수 x가 14의 배수이면 7의 배수다”는 참이지만, 역인 “x가 7의 배수이면 14의 배수다”는 항상 참이 아닙니다. x=7은 7의 배수이지만 14의 배수는 아니기 때문입니다. 이후에는 학생이 처음 풀이와 정답을 가린 상태에서 조건만 보고 다시 해결하는지, ‘두 변 이상’과 ‘정확히 두 변’을 구별해 근거를 설명하는지, 새로운 조건에서도 포함 관계를 스스로 판단하는지를 확인하며 다음 수업의 도움 정도를 조절합니다.