대구혁신도시 수학과외

대표 문제에서 k=-1이 나온 이유

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. x²-2x+k=0이 중근을 갖도록 k를 정하라. 풀이 결과를 k=-1이라고 적었다면, 답 자체는 조건에 맞지 않습니다. 다만 이 한 줄만으로 계산 실수인지, 중근의 의미를 잘못 이해한 것인지는 바로 단정하지 않습니다. 먼저 학생에게 “중근을 가지면 실근의 개수와 근의 값 중 무엇이 같아지는가?”를 묻고, 이 문제에서 구해야 하는 것이 근의 값인지 계수 k인지 확인하게 합니다. 중근은 한 근이 두 번 겹친다는 뜻이며, 이차방정식의 판별식이 0일 때 나타납니다.

교사는 식의 계수를 함께 짚습니다. 이 방정식은 a=1, b=-2, c=k이므로 판별식은 D=b²-4ac=(-2)²-4×1×k=4-4k입니다. 중근 조건은 D=0이므로 4-4k=0을 풀어야 합니다. 여기서 0은 근의 값이 아니라 두 실근이 하나로 겹친다는 조건을 나타냅니다. k=-1을 얻었다면 학생이 어떤 식에서 그 값을 만들었는지 되돌아보며, 부호를 바꾼 것인지, 판별식의 조건을 사용하지 않고 근의 값과 계수를 섞어 생각했는지 확인합니다.

판별식과 완전제곱식으로 다시 풀기

학생이 이유를 말하기 어려워한다면 교사가 판별식의 첫 단계인 D=0까지 함께 써 주고, 이어지는 계산은 직접 해 보게 합니다. 학생은 4-4k=0에서 4k=4, 따라서 k=1이라고 고칩니다. 이때 “왜 D를 0으로 두었는가?”라는 질문에는, 서로 다른 두 실근이 아니라 같은 실근 하나가 두 번 나와야 하기 때문이라고 문제의 조건과 연결해 답해야 합니다. 구한 k=1을 원래 식에 대입하면 x²-2x+1=0이고, 이는 (x-1)²=0으로 완전제곱식이 됩니다. 따라서 중근은 x=1입니다.

완전제곱식으로도 같은 판단을 확인할 수 있습니다. x²-2x+k=(x-1)²+(k-1)이므로 식이 하나의 제곱으로만 정리되려면 k-1=0이어야 합니다. 그래서 k=1이고, 남는 식은 (x-1)²=0입니다. 학생은 처음의 k=-1이라는 판단에서, 중근 조건을 계수 k에 맞는 방정식으로 세우지 않았던 부분을 바꾸었다고 설명합니다. 단순히 정답에 표시하는 데서 끝내지 않고, 조건을 식으로 옮긴 뒤 k와 중근 x=1을 각각 구하는 과정까지 다시 구성합니다.

검산으로 풀이의 근거 확인하기

이번 검산은 같은 판별식 계산을 반복하는 대신, 구한 값을 원래 방정식에 대입해 식의 모양을 확인하는 방식으로 진행합니다. k=1을 넣었을 때 x²-2x+1=(x-1)²이므로 제곱식의 값이 0이 되는 x는 1 하나뿐입니다. 이 결과는 두 근이 서로 다른 값이 아니라 같은 값이라는 중근 조건과 일치합니다. 교사는 먼저 수정 풀이와 정답을 가린 뒤 문제의 조건만 보여 주고 학생이 다시 시작하게 합니다. 혼자 D=0을 세우지 못하면 개념을 더 설명하고, D=0은 세우지만 4-4k=0을 계산하지 못하면 계산 단계만 나누어 돕습니다. 다른 방법으로 풀더라도 조건과 계산이 맞으면 같은 답으로 인정합니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단 넓히기

새 문제는 x²+6x+k=0이 중근을 가질 때 k는?입니다. 이전 문제와 달라진 것은 x의 계수뿐이므로, 중근 조건 D=0을 그대로 사용할 수 있습니다. D=6²-4×1×k=36-4k=0에서 k=9를 얻고, 식은 x²+6x+9=(x+3)²=0이 됩니다. 따라서 중근은 x=-3입니다. 학생이 풀이와 정답을 가린 상태에서 이 풀이를 다시 만들 수 있는지, 왜 k=9를 구한 뒤에도 중근의 값 x=-3을 따로 확인해야 하는지를 살핍니다.

필요하다면 “판별식이 양수이면 두 근도 모두 양수다”라는 설명을 비교 문제로 점검할 수 있습니다. x²-49=0은 D=196>0이지만 두 근은 -7과 7입니다. 따라서 판별식의 부호는 서로 다른 실근의 개수를 판단하는 정보이지, 두 근의 부호를 결정하는 정보는 아닙니다. 다음 수업에서는 학생이 중근 조건을 새 계수에 맞게 세우고, 완전제곱식과 원래 조건 대입으로 결과를 설명하는지 확인합니다.