대림동 수학과외

두 식을 동시에 만족하는지 확인하기

다음 문제를 교육용 상황으로 살펴보겠습니다. x+y=4, 2x+2y=10의 실수 해는?라는 문제에서 학생이 “x=2, y=3이다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. x=2, y=3을 둘째 식에 대입하면 2×2+2×3=10이므로 둘째 식은 만족합니다. 그러나 첫째 식에서는 2+3=5가 되어 x+y=4와 맞지 않습니다. 따라서 이 값은 두 식의 해가 될 수 없습니다. 연립방정식에서 구하는 것은 어느 한 식만 맞추는 값이 아니라, 주어진 두 식을 동시에 만족하는 실수의 순서쌍입니다.

오답이 나온 판단을 식의 관계로 나누어 보기

이 답만 보고 계산 실수인지 개념 오해인지 바로 정하지는 않습니다. 교사는 먼저 “x=2, y=3을 두 식에 각각 넣으면 어떤 결과가 나오나요?”라고 묻고, 학생이 두 식을 모두 확인하는지 살핍니다. 한 식에만 대입해 답을 정했다면 문제에서 요구한 ‘동시에 만족한다’는 조건을 놓친 것일 수 있습니다. 반대로 두 식을 확인했지만 계수를 맞추는 방법을 설명하지 못한다면 소거 과정의 개념을 다시 다룰 필요가 있습니다. 학생이 이유를 말하기 어려워하면 교사가 첫 식을 직접 2배해 보이며, 이어지는 비교는 학생이 해 보도록 합니다.

같은 좌변에서 다른 우변이 나오는 이유

첫째 식 x+y=4의 양변에 2를 곱하면 좌변의 각 항에도 2가 곱해져 2x+2y=8이 됩니다. 이는 원래 첫째 식과 같은 관계를 다른 형태로 쓴 것입니다. 그런데 둘째 식은 2x+2y=10입니다. 두 식의 좌변은 2x+2y로 같아졌는데 우변은 각각 8과 10으로 다릅니다. 같은 x와 y라면 같은 식의 좌변에 같은 값을 넣었을 때 결과가 달라질 수 없으므로, 두 관계를 동시에 만족하는 값은 없습니다. 여기서 계수를 맞춰 소거한다는 것은 임의로 식을 바꾸는 것이 아니라, 한 식의 양변에 같은 수를 곱해 원래 관계를 유지한 채 비교하는 과정입니다.

교사가 2배한 식까지 함께 적어 준 뒤, 학생은 처음의 x=2, y=3이라는 판단을 수정해 봅니다. 학생은 “x=2, y=3은 둘째 식만 만족하고 첫째 식에서는 5가 되므로 해가 아니다. 첫째 식을 2배하면 우변이 8인데 둘째 식의 우변은 10이어서 모순이다.”라고 문제의 조건과 연결해 결론을 다시 씁니다. 필요한 경우 교사는 2배하는 단계만 함께 계산하고, 어느 값이 달라졌는지와 그 결과가 무엇을 뜻하는지는 학생이 직접 확인하게 합니다.

조건에 대입한 검산과 새 문제 적용

검산에서는 풀이를 그대로 반복하지 않고 두 식의 차이를 비교합니다. 좌변의 차는 (2x+2y)-(2x+2y)=0이지만, 우변의 차는 10-8=2입니다. 좌변 차가 0인데 우변 차가 2이므로 두 식이 같은 x와 y에서 동시에 성립할 수 없다는 결론과 일치합니다. 수정 풀이와 정답을 가린 뒤 학생이 처음부터 다시 시작하게 하여, 계수를 맞춘 다음 우변을 비교하는 순서를 재현하는지도 확인합니다.

새 적용 문제로 2x+y=4, 4x+2y=11은 해를 가지는가?를 제시할 수 있습니다. 첫째 식의 양변을 2배하면 4x+2y=8이 되지만, 둘째 식은 4x+2y=11이므로 역시 같은 좌변에 서로 다른 우변이 나옵니다. 따라서 해가 없습니다. 숫자와 계수는 달라졌지만, 한 식을 같은 배수로 바꾸어 두 관계를 비교한다는 방법은 그대로 적용됩니다. 추가로 x+y=9, 2x+2y=19를 살펴보면 첫째 식을 2배한 결과가 2x+2y=18이어서 둘째 식과 모순입니다. 다음 수업에서는 학생이 새 문제에서 정답만 고르는 데 그치지 않고, 왜 해가 없는지 식의 변형과 우변의 차이로 설명하는지를 확인합니다.