효목동 수학과외

통과자 수가 많아도 통과율이 높은 것은 아닙니다

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “A집단은 10명 중 4명, B집단은 30명 중 9명이 통과했다. 통과율이 높은 집단은?” 학생이 통과자 수가 더 큰 B집단이라고 답했다면, B의 통과 인원이 9명으로 A의 4명보다 많다는 점에 먼저 주목한 것입니다. 그러나 문제에서 묻는 것은 통과한 사람의 수가 아니라 전체 인원 중 통과한 사람의 비율입니다. 집단의 크기가 다르므로 통과자 수만으로는 어느 집단의 통과율이 높은지 결정할 수 없습니다.

어느 수를 기준으로 나누는지 확인합니다

교사는 곧바로 원인을 단정하지 않고 “통과율을 구할 때 통과자 수와 전체 인원 중 어느 수를 기준으로 나누어야 할까?”라고 묻습니다. 학생이 증가율이나 감소율에서 기준이 되는 값이 달라진다는 설명은 할 수 있지만 이 문제의 식을 세우지 못한다면, 개념을 전혀 모른다고 보기보다 문제 조건에 적용하는 단계에서 막혔는지 살펴봅니다. 반대로 통과자 수를 전체 인원으로 나누어야 한다는 말은 알면서 계산만 틀렸다면 계산 과정을 따로 확인합니다.

교사는 두 집단의 조건을 나란히 읽으며, 각 집단에서 먼저 전체 인원을 분모로 놓아야 한다고 설명합니다. A집단의 통과율은 통과자 4명을 전체 10명으로 나눈 4/10이고, B집단의 통과율은 통과자 9명을 전체 30명으로 나눈 9/30입니다. 분모가 각각 다른 이유는 집단마다 전체 인원이 다르기 때문입니다. 따라서 “통과자 수가 큰 집단이 통과율도 높다”는 판단은 이 문제의 조건에서는 사용할 수 없습니다.

설명 뒤에 학생이 식을 다시 세웁니다

수정 풀이를 가린 상태에서 문제의 수치와 조건만 다시 보게 하면, 학생은 처음 답에서 통과자 수만 비교했던 부분을 고쳐 각 집단의 전체 인원으로 나누어야 합니다. A집단은 4÷10=0.4이므로 40%이고, B집단은 9÷30=0.3이므로 30%입니다. 백분율은 소수를 100배 한 값이므로 두 통과율은 각각 40%, 30%가 됩니다. 따라서 통과율이 높은 집단은 A집단입니다.

학생이 처음부터 식을 쓰지 못하면 교사가 A집단의 4명과 10명을 직접 짝지어 어느 수가 전체인지 확인한 뒤, B집단에도 같은 질문을 적용하도록 돕습니다. 이어 학생은 “B는 통과자 수가 더 많지만 전체 인원도 더 많아서, 전체 중 통과한 비율은 A보다 낮다”고 문제의 조건과 연결해 결론을 설명합니다. 표시만 남기는 데서 끝내지 않고, 답과 그 근거를 다시 구성하는지가 중요합니다.

조건에 대입해 결과를 확인하고 새 문제에 적용합니다

검산할 때 같은 나눗셈을 반복하기보다 공통으로 30명을 기준으로 비교해 볼 수 있습니다. A의 40%는 30명 기준으로 12명에 해당하고, B의 30%는 30명 기준으로 9명에 해당합니다. 이는 실제 집단 인원을 바꾼다는 뜻이 아니라, 서로 다른 크기의 집단을 같은 기준에서 비교하는 방법입니다. 따라서 통과율 비교 결과가 A라는 판단과 맞습니다. 풀이 순서를 외워 쓴 것인지 확인하려면 수정 풀이와 정답을 가리고 학생이 다시 식을 세우게 하며, 막힌 지점이 개념인지 계산인지에 따라 도움을 조절합니다.

새 문제로 “A반 20명 중 16명, B반 30명 중 21명이 통과했다. 통과율이 높은 반은?”을 제시할 수 있습니다. 이번에는 전체 인원이 바뀌었지만 각 반의 통과율을 통과자 수÷전체 인원으로 구하는 방법은 그대로입니다. A반은 16÷20=0.8, 즉 80%이고 B반은 21÷30=0.7, 즉 70%이므로 A반이 높습니다. 이후 필요하다면 “10000원을 35% 올린 뒤 오른 금액에서 35% 내리면 원래 금액인가?”를 비교 자료로 사용할 수 있습니다. 13500×0.65=8775원이므로 원래 금액으로 돌아오지 않습니다. 두 번째 35%의 기준이 10000원이 아니라 13500원으로 바뀌기 때문입니다. 다음 확인에서는 학생이 새 조건에서도 기준량을 먼저 찾고, 답의 근거를 설명하는지 살펴봅니다.