신천동 수학과외

대표 문제에서 어긋난 판단

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “√8+√2를 정리하라”는 문제에 √10이라고 썼습니다. 이 답은 √8과 √2를 일반 수처럼 더해 근호 안의 수까지 합친 결과입니다. 하지만 제곱근의 덧셈에서는 √a+√b=√(a+b)라는 계산을 그대로 사용할 수 없습니다. 먼저 각 근호 안에 제곱인수가 있는지 살펴보고, 같은 근호를 가진 항끼리 정리해야 합니다.

오답의 이유를 나누어 확인하기

교사는 처음부터 학생의 원인을 단정하지 않고 “√8을 어떤 수의 곱으로 바꿀 수 있을까?”, “√8과 √2에서 근호 안의 수가 같은가?”라고 묻습니다. 학생이 √8을 2×4로 바꾸는 이유를 말하지 못한다면 근호 안의 제곱인수를 꺼내는 개념부터 함께 확인합니다. 반대로 그 과정을 알고도 √10이라고 했다면, 근호가 같은 항의 계수를 더하는 것과 근호 안의 수를 합치는 것을 구분했는지 대표 식에 다시 적용해 봅니다. 문제의 요구는 두 근호의 값을 하나의 근호로 합치는 것이 아니라, 가능한 형태로 정리하는 것입니다.

교사의 설명과 학생의 수정 풀이

교사는 √8에서 8=4×2이고 4가 2²이므로 √8=√(2²×2)=2√2라고 설명합니다. 이때 2는 근호 밖으로 나온 계수이고, √2는 남은 근호 부분입니다. 따라서 원래 식은 2√2+√2가 됩니다. 이제 두 항은 모두 √2를 가지고 있으므로 계수만 더할 수 있습니다. 계수 2와 1을 더하면 3이고, 근호 부분은 그대로 √2이므로 정답은 3√2입니다.

설명을 한 번에 이해하기 어렵다면 교사가 √8을 2√2로 바꾸는 단계까지 함께 적고, 학생이 이어서 “같은 근호의 계수는 2와 1이므로 2+1=3”이라고 직접 완성하게 합니다. 학생은 처음의 √10이라는 판단에서, 근호 안의 수를 더하던 방식을 버리고 먼저 √8을 2√2로 바꾸는 것으로 풀이를 수정합니다. 이후 2√2+√2=3√2를 계산하고, 왜 √2를 그대로 두는지도 문제의 식과 연결해 설명합니다.

검산과 새 조건에 적용하기

수치로 확인하면 3√2는 약 4.242640…이므로 소수 셋째 자리까지 반올림하면 4.243입니다. 반면 √10은 약 3.162이므로 두 값은 다릅니다. 이는 √10이 원래 식의 정리 결과가 될 수 없음을 보여 줍니다. 풀이 순서를 외워 쓴 것인지 확인할 때는 수정 풀이와 정답을 가리고, 문제의 조건만 보인 상태에서 학생이 √8을 2√2로 바꾸는 단계부터 다시 시작하게 합니다.

새 문제로 2√5+4√5를 제시하면 근호 안의 수가 이미 같으므로 별도로 제곱인수를 꺼낼 필요가 없습니다. 계수 2와 4를 더해 6을 얻고, 근호 부분 √5는 유지하여 답은 6√5입니다. 이후 학생이 새로운 수에서도 같은 근호의 계수만 더하는지, 계산한 이유를 설명하는지 확인합니다. 추가로 √(16+16)과 √16+√16을 비교하면 앞은 √32=4√2, 뒤는 4+4=8입니다. 두 값의 제곱도 각각 32와 64로 다르므로 근호 안의 합을 두 근호의 합으로 바꾸는 설명은 항상 성립하지 않는다는 점을 구분할 수 있습니다.