이시아폴리스 수학과외

대표 문제에서 달라진 조건 찾기

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 들어 있는 주머니에서 공을 하나씩 뽑고, 뽑은 공은 다시 넣지 않습니다. 첫 번째 공이 빨강일 때 두 번째 공도 빨강일 확률을 구하는 문제입니다. 처음에는 “원래와 같은 3/5다.”라고 답할 수 있습니다. 첫 번째 공을 뽑기 전에는 빨간 공이 3개, 전체 공이 5개였으므로 3/5라는 판단입니다.

하지만 두 번째 공을 뽑는 순간에는 첫 번째 공이 빨강이었다는 조건을 이미 알고 있습니다. 따라서 첫 번째 빨간 공은 주머니에서 빠져 있고, 남은 빨간 공은 2개, 전체 공은 4개입니다. 문제는 처음의 확률을 그대로 묻는 것이 아니라, 첫 번째 결과를 알고 난 뒤의 확률을 묻고 있으므로 3/5를 그대로 사용할 수 없습니다.

오답의 이유를 단계별로 확인하기

교사는 “3/5라고 생각한 이유가 처음 공을 뽑기 전의 개수를 사용했기 때문인지, 공을 다시 넣지 않는다는 조건을 놓쳤기 때문인지”를 차례로 확인합니다. 학생이 이유를 말하기 어렵다면 교사가 먼저 주머니에서 빠진 공 하나를 표시하고, 남은 공의 색별 개수를 함께 셉니다. 이때 조건을 알고 난 뒤 가능한 전체 경우가 바뀌는지 묻습니다.

학생이 조건부 상황의 뜻은 설명하지만 계산에서 막힌다면 개념을 다시 길게 설명하기보다, “첫 번째 공이 빨강이라는 사실을 알고 있으니 빨강 몇 개와 전체 몇 개를 세어야 할까?”라고 질문합니다. 반대로 남은 공의 수를 세면서도 처음의 3/5를 적는다면, 조건을 적용한 뒤 계산에 사용한 수가 바뀌었는지 확인하게 합니다. 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않고, 문제의 조건을 읽은 단계와 식을 세운 단계를 나누어 살피는 과정입니다.

조건을 반영한 수정 풀이와 검산

교사는 첫 번째 추출이 빨강이고 복원하지 않았다는 조건을 풀이 옆에 표시합니다. 그러면 빨간 공 3개 중 1개가 빠져 빨간 공은 2개가 되고, 전체 공 5개 중 1개가 빠져 전체 공은 4개가 됩니다. 학생은 이 설명을 이용해 두 번째 공이 빨강일 확률을 2/4, 즉 1/2로 고칩니다. 이 식에서 2는 남은 빨간 공의 수이고 4는 남은 전체 공의 수이므로, 처음의 3/5를 다시 쓰지 않는 이유도 문제 조건과 연결해 설명할 수 있습니다.

검산할 때는 같은 식을 반복하기보다 남은 파란 공도 2개라는 점을 확인합니다. 빨강 2개와 파랑 2개가 남았으므로 두 색을 뽑을 가능성이 같고, 빨강을 뽑을 확률은 1/2가 됩니다. 풀이 순서를 따라 쓴 뒤에는 문제의 수치와 정답을 가리고, “첫 번째 공이 빨강이고 다시 넣지 않았다”는 조건만 보면서 남은 공을 다시 세어 보게 합니다. 혼자 계산하지 못하면 개념에서 막혔는지, 2/4를 1/2로 바꾸는 계산에서 막혔는지에 따라 도움을 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음 확인하기

새 문제로 빨간 공 4개와 파란 공 2개가 있는 주머니에서 공을 하나씩 뽑고 다시 넣지 않는 경우를 제시합니다. 첫 번째 공이 파랑이었다면 두 번째 공이 빨강일 확률을 구합니다. 이번에는 파란 공 하나가 빠졌으므로 빨간 공은 4개 그대로이고 전체 공은 5개입니다. 따라서 두 번째 공이 빨강일 확률은 4/5입니다. 이전 문제와 같은 방식으로 ‘알고 있는 첫 번째 결과에 따라 남은 공을 다시 센다’는 판단을 적용하지만, 빠진 색이 빨강이 아니라 파랑이라는 점이 달라졌습니다.

필요하다면 공을 다시 넣는 경우도 비교할 수 있습니다. 빨간 공 2개와 파란 공 1개에서 첫 번째 공을 뽑은 뒤 다시 넣는다면, 두 번째 추출 전에도 빨간 공 2개와 전체 공 3개가 유지되므로 두 번째 빨강 확률은 2/3입니다. 다음 수업에서는 학생이 기본 문제의 수치와 풀이를 가린 상태에서 조건만 보고 남은 공을 세우는지, 4/5 문제에 같은 판단을 적용하는지, 그리고 복원 여부가 바뀌면 확률도 달라지는 이유를 설명하는지를 확인합니다.