석사동 수학과외

평균 7에서 나머지 수를 찾는 과정

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 세 수의 평균이 7이고 두 수가 5, 8일 때 나머지 수를 구하는 문제입니다. 처음 답은 “7이다.”였습니다. 평균으로 제시된 7을 나머지 수로 바로 옮겨 적은 답이지만, 문제에서 구하는 값은 평균이 아니라 세 수 중 아직 알려지지 않은 한 수입니다. 따라서 평균 7과 나머지 수를 같은 값으로 볼 수 있는지부터 확인해야 합니다.

세 수의 평균은 세 수의 합을 3으로 나눈 값입니다. 그러므로 평균에 자료의 개수를 곱하면 세 수의 총합을 복원할 수 있습니다. 이 문제에서는 7×3=21이므로 세 수의 합은 21입니다. 이미 알려진 두 수의 합은 5+8=13이고, 나머지 수를 x라고 하면 13+x=21입니다. 따라서 x=21-13=8입니다. 구해야 하는 값은 평균 7이 아니라, 전체 합에서 알고 있는 두 수를 뺀 나머지 8입니다.

오답에서 바뀌어야 할 판단 확인하기

교사는 처음 답을 곧바로 특정 원인으로 단정하지 않고, 학생이 왜 7을 썼는지 함께 확인합니다. “7은 문제에서 무엇을 뜻하지?”라고 묻고, 평균인지, 가운데에 놓인 값인지, 가장 자주 나오는 값인지 구별해 보게 합니다. 평균은 자료의 합을 자료의 개수로 나눈 값이고, 중앙값은 자료를 크기순으로 정렬했을 때 가운데 위치의 값이며, 최빈값은 가장 많이 반복된 값입니다. 이 세 개념은 이름이 비슷한 수가 아니라 구하는 방법과 뜻이 다릅니다.

학생이 개념을 말로 설명하기 어렵다면 교사가 “세 수를 모두 더한 뒤 3으로 나눈 결과가 7”이라는 부분을 먼저 풀어 보입니다. 그다음 학생이 7×3을 계산해 총합 21을 만들고, 5와 8을 더해 13을 구한 뒤, 21에서 13을 빼도록 이어서 시도하게 합니다. 만약 이 식을 세운 뒤 계산 결과가 달라진다면 개념 자체보다 수를 옮기거나 빼는 과정에서 실수가 있었는지도 다시 살핍니다.

학생의 수정 풀이와 조건에 따른 검산

학생은 처음의 “7이다.”라는 판단을 바꾸어, 평균에 세 수의 개수를 곱해 전체 합을 먼저 구합니다. 7×3=21은 세 수가 모두 합쳐진 값이고, 5+8=13은 이미 알려진 두 수의 합이므로, 나머지 수는 21-13=8입니다. 학생은 답만 고치는 데서 멈추지 않고, 7이 평균으로 사용된 수이며 나머지 수는 8이라고 문제의 조건에 연결해 설명합니다.

검산은 같은 풀이를 그대로 반복하는 대신, 구한 수를 원래 평균 조건에 대입해 확인합니다. 세 수가 5, 8, 8이면 (5+8+8)÷3=21÷3=7이므로 평균이 7이라는 조건을 만족합니다. 이 검산에서 답 8이 원래 조건에 들어맞는지 확인할 수 있습니다. 풀이 순서를 따라 적은 경우에는 계산 과정과 정답을 가린 뒤 문제와 조건만 보고 다시 시작하게 합니다. 혼자 막히면 평균과 총합의 관계에서 어려운지, 21-13의 계산에서 어려운지에 따라 도움을 조절합니다. 조건과 계산이 맞는 다른 풀이도 인정할 수 있습니다.

새 조건에 적용하고 다음 풀이를 확인하기

이번에는 기본 문제와 다른 상황을 적용해 봅니다. 자료 6개의 평균이 12일 때, 여기에 19를 하나 더 추가하면 새 평균은 얼마인지 묻는 문제입니다. 먼저 기존 자료의 개수가 6개이므로 원래 총합은 12×6=72입니다. 19를 추가하면 자료의 합은 72+19=91이 되고, 자료의 개수는 7개가 됩니다. 따라서 새 평균은 91÷7=13입니다. 평균에 개수를 곱해 총합을 복원한다는 방법은 같지만, 자료를 하나 추가했으므로 합과 개수를 모두 바꾸어야 합니다.

이 문제를 풀 때는 이전 풀이와 정답을 가리고, 6개라는 개수와 평균 12, 새로 들어온 19라는 조건만 보여 준 뒤 학생이 식을 다시 구성하는지 확인합니다. 추가로 평균이 15이고 자료가 네 개라면 총합은 언제나 15가 아니라 15×4=60입니다. 이 비교는 평균과 총합을 같은 값으로 보는지 확인하는 데 도움이 될 때 선택합니다. 다음 수업에서는 학생이 평균을 총합으로 복원하고, 자료 개수가 바뀌는 새 조건에서도 합과 나눗셈을 구분해 적용하며, 각 답의 근거를 설명하는지를 확인합니다.