퇴계동 수학과외

대표 문제에서 빠뜨린 경계 조건

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 2<x≤5를 만족하는 정수의 개수는? 학생은 수직선에 2, 3, 4, 5를 떠올리고 “2, 3, 4, 5로 4개다.”라고 답했습니다. 이 답은 오른쪽 경계인 5까지 세었다는 점은 맞지만, 왼쪽 경계 2를 포함한 것이 문제의 조건과 맞지 않습니다. 2<x는 x가 2보다 커야 한다는 뜻이므로 2는 제외하고, x≤5는 5보다 작거나 같다는 뜻이므로 5는 포함합니다. 따라서 조건을 만족하는 정수는 3, 4, 5이고, 정답은 3개입니다.

이때 오답 하나만 보고 계산 실수라고 단정하지 않습니다. 학생이 부등호의 방향을 잘못 읽은 것인지, 경계에서 등호가 붙은 경우와 붙지 않은 경우를 구분하지 못한 것인지, 또는 정수를 세는 과정에서 2를 실수로 포함한 것인지 나누어 확인합니다. 교사는 “2<x에서 2도 포함되나요?”, “x≤5에서 5는 어떤가요?”라고 묻고, 학생이 말로 설명하기 어렵다면 두 경계를 수직선에 함께 표시하며 한 단계씩 살핍니다.

수직선 표시와 조건을 연결하는 수정 풀이

교사는 대표 문제에서 두 끝점의 의미를 짚습니다. 왼쪽 경계 2는 ‘보다 큼’이므로 빈 점으로, 오른쪽 경계 5는 ‘작거나 같음’이므로 채운 점으로 나타냅니다. 수직선의 점을 표시하는 목적은 장식이 아니라, 각 끝점을 실제 해에 포함할 수 있는지를 구분하기 위해서입니다. 빈 점인 2는 해에서 제외되고, 채운 점인 5는 해에 포함됩니다.

교사가 필요한 부분을 먼저 설명한 뒤 학생은 문제의 풀이와 정답을 보지 않은 상태에서 다시 시작합니다. 학생은 먼저 2<x≤5에서 왼쪽 조건과 오른쪽 조건을 나누어 읽고, 2보다 큰 정수부터 5 이하인 정수까지 적습니다. 그 결과 3, 4, 5를 쓰고, “2는 2보다 커야 한다는 조건을 만족하지 않아서 제외하고, 5는 5보다 작거나 같으므로 포함한다.”라고 처음 판단과 달라진 점을 문제 조건에 연결합니다. 마지막으로 나열한 수가 세 개이므로 정답을 3개라고 결론 냅니다. 표시만 남기는 데서 끝내지 않고, 경계의 포함 여부와 개수까지 답하게 하는 것이 핵심입니다.

조건에 대입하는 검산과 도움 조정

검산은 같은 풀이를 반복하는 대신, 구한 수를 원래 조건에 직접 대입해 확인합니다. 3, 4, 5는 모두 2보다 크고 5보다 작거나 같으므로 조건을 만족합니다. 반면 처음 포함했던 2는 2보다 크지 않으므로 조건을 만족하지 않습니다. 이 확인으로 왼쪽 경계는 제외되고 오른쪽 경계는 포함된다는 결론이 계산 결과와도 일치하는지 살필 수 있습니다.

학생이 풀이 순서를 따라 적은 경우에는 수정 풀이를 가리고 같은 문제를 다시 제시해 경계부터 읽게 합니다. 다시 풀지 못한다면 부등호의 의미를 설명하는 데 막힌 것인지, 정수 목록을 만드는 과정에서 막힌 것인지 확인해 도움을 조절합니다. 다른 방법으로 풀더라도 2의 제외와 5의 포함을 정확히 설명하고 답이 3개로 일치한다면 그 풀이를 인정할 수 있습니다. 이후에는 학생이 경계를 스스로 읽고 근거를 말하는지, 풀이를 가린 뒤에도 같은 조건으로 다시 해결하는지를 확인합니다.

새 조건에 적용하고 음수 곱셈까지 비교하기

새 문제로 -1≤x<3인 정수 해를 모두 써라.를 제시할 수 있습니다. 이번에는 왼쪽 경계 -1은 등호가 있으므로 포함하고, 오른쪽 경계 3은 ‘보다 작음’이므로 제외합니다. 따라서 정수 해는 -1, 0, 1, 2입니다. 기본 문제와 숫자와 경계의 위치가 달라졌지만, 각 부등호에 등호가 붙었는지 확인한 뒤 포함 여부를 결정하는 방법은 그대로 적용할 수 있습니다.

조건을 읽는 방법과 음수의 대소를 연결할 필요가 있을 때는 다음 비교 자료를 선택적으로 사용합니다. 8<9의 양변에 -1을 곱하면 -8과 -9를 비교하게 되고, 결과는 -8>-9입니다. 양변에 곱한 수가 음수이면 수직선에서 방향이 바뀌므로 부등호 방향도 뒤집힙니다. 다만 이 비교는 새 적용 문제를 해결한 뒤, 학생이 음수의 위치와 부등호 방향을 함께 설명할 필요가 있을 때 확인합니다. 다음 수업에서는 새로운 조건을 보고 끝점의 포함 여부를 먼저 판단하는지, 그리고 음수를 곱했을 때 달라지는 이유를 말로 설명한 뒤 문제에 적용하는지를 중심으로 살펴봅니다.