교동 수학과외

대표 문제에서 어긋난 판단

다음 문제에서 학생이 “9번째다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 문제는 등차수열 3, 6, 9, …에서 30이 몇 번째 항인지 묻습니다. 항을 직접 나열하면 3은 첫 번째, 6은 두 번째, 9는 세 번째이므로 30은 10번째 항입니다. 따라서 9번째라는 답은 30에 도달하기 전의 항 번호입니다.

교사는 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않고 “9를 구할 때 어떤 수를 세었는지, 첫 항 3에서 30까지 공차 3을 몇 번 더했는지”를 묻습니다. 학생이 3에서 30까지의 차이 27을 공차 3으로 나누어 9를 얻었다면, 그 9는 공차를 더한 횟수이지 항 번호가 아닐 수 있습니다. 첫 항 자체가 이미 첫 번째 항에 해당하므로, 항 번호와 공차를 더한 횟수는 하나 차이가 납니다.

항 번호와 더한 횟수 구분하기

이 수열은 첫항이 3이고 공차가 3입니다. 첫항에서 n번째 항까지는 공차를 n-1번 더하므로 일반항은 a_n=3+(n-1)×3=3n으로 쓸 수 있습니다. 여기서 n은 항의 번호이고, n-1은 첫항에서 출발해 공차를 더한 횟수입니다. 이 관계는 첫항과 공차가 각각 3인 이 문제에 근거한 것이며, 모든 수열에 같은 식을 적용하는 것은 아닙니다.

학생이 개념을 말로 설명하기 어렵다면 교사는 첫 두 항만 함께 확인합니다. n=1일 때 a₁=3이고, n=2일 때 a₂=6이므로 a_n=3n이라는 식이 항의 번호와 실제 값을 연결한다는 점을 짚습니다. 그다음 30을 구해야 하므로 일반항의 값에 30을 놓아야 한다고 안내합니다.

설명 후 다시 세우는 풀이

이제 문제의 답과 해설을 가린 상태에서 학생이 대표 문제를 다시 풀어 보게 합니다. 학생은 먼저 “30은 수열의 몇 번째 항인지 찾는 문제”라고 요구를 확인한 뒤, 3n=30을 세웁니다. 양변을 3으로 나누면 n=10이므로 30은 10번째 항입니다.

이때 학생이 처음의 9번째라는 판단에서 무엇을 바꾸었는지도 문제 조건과 연결해 설명하도록 합니다. 처음에는 30-3=27을 공차 3으로 나눈 9를 항 번호로 보았지만, 그 값은 공차를 더한 횟수 n-1입니다. 첫항 3의 번호가 이미 1이므로 항 번호는 9+1=10이 됩니다. 일반항을 이용하면 같은 내용을 더 직접적으로 확인할 수 있습니다. 학생이 식의 일부를 어려워하면 교사가 a_n=3+(n-1)×3까지 함께 쓰고, 30을 대입하는 과정과 n을 구하는 과정은 학생이 이어서 시도하도록 도움을 조절합니다. 다른 풀이를 사용하더라도 항의 번호와 더한 횟수를 구분하고 조건과 계산이 맞으면 인정합니다.

검산과 새로운 조건에 적용하기

수정한 답은 원래 수열의 조건에 대입해 확인합니다. n=10을 일반항에 넣으면 a₁₀=3×10=30이고, n=1을 넣으면 a₁=3이므로 첫항 조건도 맞습니다. 풀이 순서를 그대로 따라 쓴 것인지 확인하려면 학생이 앞의 풀이를 가린 뒤 같은 문제를 처음부터 다시 해결하게 합니다. 이때 막히는 지점이 항 번호와 더한 횟수의 구분인지, 식을 세운 뒤 계산하는 과정인지 살펴보고 다음 설명의 양을 조절합니다.

새 적용 문제는 수열 4, 9, 14, …에서 49가 몇 번째 항인지 찾는 것입니다. 첫항은 4, 공차는 5로 바뀌었지만 등차수열의 일반항을 세우는 방법은 조건에 맞게 사용할 수 있습니다. 따라서 4+(n-1)×5=49이고, 정리하면 5n-1=49, 5n=50이므로 n=10입니다. 학생이 풀이와 정답을 가린 상태에서 이 식을 직접 세우고, 49가 10번째 항이라는 근거를 설명하는지를 확인합니다. 추가로 첫항 2, 공차 3인 수열에서 12가 항인지 살펴보면 2+3(n-1)=12에서 n=13/3이 나옵니다. 항 번호는 자연수여야 하므로 12는 이 수열의 항이 아닙니다. 다음 수업에서는 숫자만 바뀐 문제뿐 아니라, 구한 값이 실제 항 번호로 가능한지도 스스로 확인하는지를 살펴봅니다.