퇴계지구 수학과외

편차의 합이 0이어도 분산은 0이 아닙니다

다음 문제에서 학생이 “자료 4, 6의 분산을 구하라”는 질문에 “평균은 5이고 편차는 -1과 1이므로 편차의 합이 0이다. 따라서 분산도 0이다”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 이 답은 평균과의 차이를 구한 부분까지는 맞지만, 분산의 정의를 적용하는 마지막 연산에서 어긋났습니다. 분산은 편차의 합이 아니라 편차를 각각 제곱한 뒤 그 평균을 구한 값이기 때문입니다.

교사는 곧바로 학생의 원인을 단정하지 않고 “왜 편차의 합을 분산이라고 생각했는지”를 먼저 묻습니다. 학생이 평균 5를 구하고 4-5=-1, 6-5=1까지 계산했다면 평균과 편차를 이해했는지, 아니면 문제에서 요구한 분산의 뜻을 다른 값과 혼동했는지를 나누어 살필 수 있습니다. 계산 결과를 말로 설명하기 어렵다면 교사가 한 단계씩 함께 확인하고, 이어지는 연산은 학생이 다시 시도하도록 합니다.

분산의 정의에 맞춰 풀이를 고쳐 봅니다

먼저 두 자료의 평균은 (4+6)÷2=5입니다. 평균 5는 두 자료의 중심을 나타내므로, 각 자료에서 평균을 빼면 4-5=-1, 6-5=1이라는 편차가 나옵니다. 편차의 합은 -1+1=0이지만, 이 값은 자료가 평균의 양쪽에 얼마나 떨어져 있는지를 서로 상쇄한 결과일 뿐입니다. 따라서 편차의 합만으로 자료의 퍼진 정도를 판단할 수 없습니다.

교사는 “분산은 편차를 그대로 더할까, 아니면 음수와 양수가 상쇄되지 않도록 바꿀까?”라고 질문하며 다음 단계를 연결합니다. 학생은 편차를 제곱하여 (-1)²=1, 1²=1로 바꿉니다. 이제 제곱한 편차의 합은 1+1=2이고, 자료의 개수는 2개이므로 분산은 2÷2=1입니다. 학생은 처음의 판단 중 ‘편차의 합이 0’이라는 사실 자체는 맞지만, 그것을 분산의 값으로 사용한 점이 잘못이었다고 문제의 조건과 연결해 설명합니다.

교사가 일부 계산을 함께 보인 뒤에는 학생이 수정된 순서를 따라 직접 답을 완성합니다. 평균을 구하고, 평균을 뺀 편차를 구한 다음, 편차를 제곱하고, 그 합을 자료 개수로 나누어 분산이 1임을 적습니다. 단순히 제곱 표시만 남기는 것이 아니라 각 수가 평균에서 얼마나 떨어졌는지와 마지막으로 무엇을 구했는지를 확인합니다.

원래 조건에 대입해 결과를 확인합니다

분산이 1이라는 결과는 표준편차로도 확인할 수 있습니다. 분산 1의 제곱근은 1이므로 표준편차는 1입니다. 실제로 자료 4와 6은 평균 5에서 각각 1만큼 떨어져 있습니다. 이 확인은 편차의 합을 다시 계산하는 것이 아니라, 제곱한 편차의 평균으로 얻은 분산과 자료의 평균으로부터의 거리가 서로 맞는지 살펴보는 과정입니다.

수업에서는 수정 풀이와 정답을 잠시 가린 뒤 같은 문제를 다시 제시할 수 있습니다. 학생이 평균과 편차를 직접 구하고, 이번에는 편차를 제곱해야 하는 이유까지 말하거나 식으로 나타내는지 확인합니다. 혼자 첫 단계부터 풀지 못한다면 개념 설명이 더 필요한지, 제곱이나 나눗셈 계산에서 막혔는지를 구분해 도움의 양을 조절합니다. 다른 방식으로 풀더라도 분산의 정의와 계산이 일치하면 같은 답으로 인정합니다.

새 자료에 적용하고 다음 판단을 확인합니다

이제 기본 문제와 다른 자료 1, 3, 5의 분산을 구해 봅니다. 평균은 (1+3+5)÷3=3이고, 평균에서의 편차는 -2, 0, 2입니다. 편차를 제곱하면 4, 0, 4가 되며, 제곱한 편차의 합은 8입니다. 자료가 3개이므로 분산은 8÷3, 즉 8/3입니다. 자료와 평균이 달라졌지만, 평균을 구하고 편차를 제곱한 뒤 자료 개수로 나누는 방법은 그대로 적용됩니다.

필요하다면 자료 1, 5도 비교해 볼 수 있습니다. 평균은 3, 편차는 -2와 2이므로 편차의 합은 여전히 0이지만, 분산은 (4+4)÷2=4입니다. 이 비교는 ‘편차의 합이 0이면 분산도 0’이라는 설명이 항상 맞는지 확인하는 데 도움이 됩니다. 다음 수업에서는 새 문제의 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 이 순서를 다시 구성하고, 왜 편차를 제곱하는지와 새 조건에서도 같은 정의를 적용할 수 있는지를 확인합니다.