전주중동 중등수학과외

“마지막 쌍의 6은 두 종류일까?”

수업은 학생이 약수 목록을 완성하는 장면에서 시작한다. 교사는 36의 약수를 곱셈 짝으로 찾게 한 뒤, 마지막에 남은 (6, 6)을 가리키며 묻는다. “이 두 자리의 6은 서로 다른 약수일까, 아니면 같은 값일까?” 학생은 잠시 멈추고 두 수가 같은 숫자인지 확인한다. 이 질문은 단순히 답을 고치는 데서 끝나지 않고, 곱셈의 짝과 약수의 종류를 구별하는 데 초점을 둔다. 전주중동중등수학과외 수업에서는 학생이 적은 식과 문제 조건을 나란히 놓고, 계산의 어느 순간에 같은 값을 두 번 세었는지 직접 표시하게 한다.

36의 약수 쌍과 처음 달라진 판단

교사는 먼저 문제를 분명히 제시한다. “36을 소인수분해하고, 서로 다른 소인수와 양의 약수의 개수를 구해 보자.” 학생은 36의 약수 쌍을 (1,36), (2,18), (3,12), (4,9), (6,6)으로 적었다. 여기까지는 곱이 36이 되는 짝을 빠짐없이 찾았다는 점에서 맞게 처리했다. 그러나 학생은 “약수 쌍이 다섯 개이고 한 쌍마다 두 수가 있으니 약수는 10개”라고 결론을 냈다. 교사는 곧바로 개념을 모른다고 단정하지 않고, 오답이 나온 첫 판단만 좁혀 확인한다. “마지막 쌍 (6,6)의 6을 두 종류로 세어도 될까?”

학생이 “곱을 만드는 두 자리니까 두 개로 세는 것 같다”고 말하자, 교사는 말로 설명한 기준과 실제 목록을 나란히 적어 보게 한다. 다른 쌍에서는 1과 36, 2와 18처럼 서로 다른 값이 나타나지만, 마지막 쌍에서는 두 자리가 모두 6이다. 따라서 현재 확인된 원인은 약수 쌍의 개수와 서로 다른 약수 값의 개수를 같은 것으로 본 데 있다. 다만 이 한 번의 오답만으로 다른 부분까지 틀렸다고 정하지 않고, 소인수분해와 약수 개수 공식을 적용하는 과정은 따로 확인하기로 한다.

한 단계의 대조 뒤 학생이 완성한 목록

교사는 풀이 전체를 대신 적지 않고, 약수 목록의 시작 부분만 대조 자료로 제시한다. “36의 양의 약수를 값으로 나열하면 어떻게 될까?” 이어 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36을 적고, 곱셈 짝의 두 자리가 약수 값으로 합쳐지는 과정을 보여 준다. 설명은 한 문장으로 제한한다. “(6,6)은 곱의 두 자리지만 약수의 값은 하나다.” 그다음 학생이 직접 가운데 6을 한 번만 남겨 목록을 완성한다.

학생은 처음 적은 “다섯 쌍 × 두 개 = 10개”를 지우고, 약수를 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36으로 다시 쓴다. 이어 36을 소인수의 곱으로 바꾸어 36=2²×3²라고 적는다. 지수가 붙은 소수 2와 3이 소인수이며, 서로 다른 소인수는 2개라고 구분한다. 약수의 개수는 각 소인수의 지수를 0부터 선택하는 경우를 세어 (2+1)(2+1)=9개라고 연결한다. 처음 풀이와 달라진 부분은 곱셈 짝의 자리 수를 세지 않고, 실제로 서로 다른 약수 값을 세었다는 점이다.

목록에서 원래 수를 찾는 새 조건

검산은 같은 식을 반복하는 방식으로 끝내지 않는다. 수정한 답과 별도로 약수 목록을 직접 대조해 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36이 모두 36을 나누는지 확인하고, 목록의 개수가 9개임을 센다. 또한 2²×3²=4×9=36으로 소인수분해 결과가 원래 수와 일치하는지도 확인한다. 이때 학생은 가운데 값 6이 목록에 한 번만 있다는 근거를 말로 설명한다.

마지막에는 방향을 바꾼 문제를 제시한다. “양의 약수가 1, 2, 4, 8, 16의 다섯 개뿐인 자연수 N을 소인수분해하고, 서로 다른 소인수의 개수를 구하라.” 학생은 가장 큰 약수가 원래 수 N이라는 조건을 먼저 표시하여 N=16=2⁴라고 찾는다. 소인수는 2 하나이고, 서로 다른 소인수의 개수는 1개이다. 다음 문제에서는 학생이 도움 없이 가장 큰 약수에서 N을 정하고, 지수 0부터 4까지의 다섯 선택이 목록과 맞는지 설명하게 한다. 교사는 정답뿐 아니라 가운데 약수를 중복하지 않는 기준과, 2⁴의 약수가 실제 목록과 일치한다는 근거를 풀이에 남겼는지 확인한다.