양산지구 수학과외

대표 문제에서 달라진 것은 구하려는 사건입니다

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “P(A)=0.2일 때 A가 일어나지 않을 확률은 0.2다.” 주어진 0.2는 사건 A가 일어날 확률이지, A가 일어나지 않을 확률은 아닙니다. 문제는 A의 확률을 그대로 묻지 않고, A의 반대 사건을 구하도록 요구합니다. 따라서 먼저 ‘A가 일어나지 않는다’를 구하려는 사건으로 말해 보는 것이 필요합니다.

이때 오답 하나만으로 계산 실수인지 개념 오해인지 바로 단정하지 않습니다. 교사는 “문제에서 이미 알고 있는 확률은 어떤 사건의 확률인가요?”, “구해야 하는 것은 A인가요, A가 일어나지 않는 경우인가요?”라고 묻습니다. 학생이 사건의 뜻은 구분하지만 식을 세우지 못한다면 계산보다 조건 해석을 먼저 돕고, 0.2를 그대로 쓴 이유를 설명하기 어려워하면 두 사건이 어떤 관계인지 짧은 예로 함께 확인합니다.

여사건의 확률을 식으로 바꾸어 봅니다

교사는 A가 일어나는 경우와 A가 일어나지 않는 경우를 합치면 전체 경우가 된다는 점을 짚습니다. 이 문제에서는 별도의 조건부 상황이나 새로운 전체 집합이 제시되지 않았으므로, A의 여사건을 A가 일어나지 않는 사건으로 봅니다. 두 사건은 함께 전체를 이루고 동시에 일어날 수 없으므로 두 확률의 합은 1입니다. 따라서 구하는 확률을 P(A가 일어나지 않음)이라고 쓰면 P(A가 일어나지 않음)=1-P(A)=1-0.2=0.8입니다.

학생이 한 단계에서 막히면 교사가 ‘A가 일어나는 확률’을 식에 넣는 부분까지 함께 써 보이고, 마지막 뺄셈은 직접 하게 합니다. 학생은 처음의 0.2를 답으로 옮기는 대신, 문제의 표현이 A가 아닌 ‘A가 일어나지 않음’을 묻는다는 점을 확인한 뒤 1에서 0.2를 빼어 0.8을 구합니다. 이때 0.2는 중간에 사용하는 주어진 값이고, 최종 답은 여사건의 확률인 0.8이라는 점도 구분합니다.

합이 1인지 확인하며 풀이를 다시 점검합니다

수정한 답은 원래 조건과 직접 대조할 수 있습니다. A가 일어날 확률 0.2와 A가 일어나지 않을 확률 0.8을 더하면 0.2+0.8=1입니다. 이는 두 경우가 전체 확률을 빠짐없이 나눈다는 관계와 맞습니다. 풀이 순서를 외워 적는 데 그치지 않도록, 교사는 수정 풀이와 정답을 가린 뒤 문제의 조건만 다시 보여 줍니다. 학생이 먼저 구해야 할 사건을 말하고 식을 세우는지, 계산에서 막히는지에 따라 다음 도움을 조절합니다.

동전 문제에 같은 판단을 적용해 봅니다

새 문제는 “독립적으로 던진 공정한 동전 두 개에서 앞면이 적어도 하나 나올 확률은?”입니다. 두 동전의 앞뒤 결과는 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤 네 가지이고, 공정하며 독립적으로 던지므로 네 결과의 확률은 각각 1/4입니다. ‘앞면이 적어도 하나’의 여사건은 ‘앞면이 하나도 없음’, 즉 두 동전이 모두 뒷면인 경우입니다. 여사건의 확률이 1/4이므로 구하는 확률은 1-1/4=3/4입니다.

여기서 ‘앞면이 적어도 하나’의 여사건을 ‘뒷면이 적어도 하나’라고 바꾸면 안 됩니다. 앞뒤 결과는 두 주장에 모두 포함되므로 서로 여사건이 아닙니다. 다음 확인에서는 학생이 대표 문제와 새 문제의 수치만 따라 쓰는지, 아니면 “무엇의 여사건인지”를 먼저 정한 뒤 1에서 빼는지 살펴봅니다. 이후에는 답을 가린 상태에서 새 조건을 보고 사건과 여사건을 말로 설명한 다음 계산하게 하며, 그 근거를 설명하고 조건이 달라져도 알맞은 대상을 선택하는지를 확인합니다.