운암동 수학과외

입력이 달라도 출력이 같을 수 있는 대표 문제

다음 문제에서 학생이 f(x)=x²에서 f(-2)와 f(2)를 비교하라는 질문에 “입력이 달라 출력도 반드시 다르다”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 먼저 문제에서 주어진 함수식은 입력값을 제곱하여 출력값을 정하는 규칙입니다. 따라서 f(-2)=(-2)²=4이고, f(2)=2²=4입니다. 두 입력값 -2와 2는 서로 다르지만, 두 출력값은 모두 4이므로 비교 결과는 f(-2)=f(2)입니다.

처음 답은 입력이 다르다는 사실에서 출력도 달라야 한다고 판단한 부분이 잘못되었습니다. 하지만 이 사실만으로 f가 함수가 아니게 되는 것은 아닙니다. 함수의 조건은 서로 다른 입력이 항상 서로 다른 출력을 가져야 한다는 뜻이 아니라, 각 입력 하나에 출력 하나가 정해지는가에 있습니다. 이 문제에서는 -2를 넣으면 4가 하나로 정해지고, 2를 넣어도 4가 하나로 정해지므로 함수의 조건을 만족합니다.

오답의 이유를 풀이 과정에서 구분하기

교사는 처음 답을 바로 외운 실수라고 단정하지 않고, “-2를 넣었을 때와 2를 넣었을 때 실제로 어떤 계산을 했는가?”라고 묻습니다. 학생이 두 입력을 각각 계산하지 않고 입력값의 차이만 보고 결론을 냈다면, 우선 조건과 함수식의 적용 순서를 다시 확인합니다. 반대로 함수의 뜻은 말할 수 있지만 (-2)²을 -4로 계산했다면 개념보다 제곱 계산에서 막힌 경우로 볼 수 있습니다. 학생이 설명하기 어려워하면 교사가 f(-2)=(-2)²=4 한 부분을 함께 풀어 보인 뒤, f(2)의 계산은 학생이 이어서 시도하게 합니다. 이렇게 개념을 이해하지 못한 경우와 계산 과정에서 생긴 오류를 실제 풀이로 나누어 살핍니다.

교사의 설명 뒤 학생이 다시 구성하는 풀이

학생은 대표 문제를 다시 보면서 먼저 비교할 대상이 출력값 f(-2)와 f(2)라는 점을 확인합니다. 그다음 입력 -2를 함수식의 x에 넣어 (-2)²=4를 계산하고, 입력 2를 넣어 2²=4를 계산합니다. 이때 음수를 제곱하면 괄호 안의 수 전체를 두 번 곱하므로 (-2)×(-2)=4가 되고, 2×2도 4가 된다는 이유를 함께 확인합니다. 학생은 처음의 “입력이 다르면 출력도 반드시 다르다”는 판단을 “입력이 달라도 이 함수식에서는 출력이 같을 수 있다”로 고치고, 최종적으로 f(-2)=f(2)=4라고 결론을 적습니다.

풀이를 순서대로 따라 쓴 뒤에는 수정 풀이와 정답을 가리고 같은 문제를 다시 시작하게 합니다. 학생이 두 식을 직접 세워 계산하는지, 왜 두 결과를 비교하는지 설명할 수 있는지를 확인합니다. 혼자 계산하지 못한다면 함수의 입력과 출력 관계를 다시 설명할지, 제곱 계산만 짧게 보조할지에 따라 도움을 조절합니다. 다른 방식으로 풀더라도 주어진 함수식에 입력을 정확히 대입하고 계산과 결론이 맞다면 그 풀이를 인정할 수 있습니다.

조건에 대입한 검산과 새 문제 적용

검산은 처음 풀이를 그대로 반복하기보다 두 입력을 함수식에 다시 대입해 결과가 같은지 확인하는 방식으로 진행합니다. (-2)²=4이고 2²=4이므로 f(-2)=f(2)=4라는 결론이 원래 조건과 일치합니다. 이어서 문제의 수치와 정답을 가린 상태에서, 조건은 볼 수 있도록 f(x)=x²에서 f(-4)와 f(4)를 비교하라는 새 문제를 제시합니다. 이전 문제와 달라진 것은 입력값의 크기뿐이며 함수식은 같으므로, 각 입력을 제곱해 비교하는 방법을 그대로 사용할 수 있습니다. f(-4)=(-4)²=16, f(4)=4²=16이므로 두 출력은 모두 16입니다. 다만 이 한두 문제만으로 모든 함수에서 입력이 달라도 출력이 같다고 일반화할 수는 없습니다. 이후 필요할 때 x=±3에서 f(x)=x²의 출력 부호를 비교하면 두 출력이 모두 9라는 점을 확인하며, 출력의 관계는 입력의 차이만이 아니라 실제 함수식으로 판단해야 한다는 다음 확인으로 연결할 수 있습니다.