양산동 수학과외

대표 문제에서 어긋난 판단

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 2행 2열 행렬과 3행 2열 행렬을 이 순서로 곱할 수 있는가? 학생은 “바깥숫자가 2라 가능하다.”라고 판단했습니다. 하지만 행렬 곱에서는 양쪽 바깥 숫자가 같은지가 아니라, 앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수가 같은지를 먼저 확인해야 합니다. 앞 행렬은 2행 2열이므로 열이 2개이고, 뒤 행렬은 3행 2열이므로 행이 3개입니다. 연결되는 수가 2와 3으로 다르기 때문에 이 순서의 곱은 정의되지 않으며, 결과 행렬도 구할 수 없습니다.

여기서 중요한 것은 단순히 숫자 2를 찾는 것이 아닙니다. 행렬의 크기를 행과 열의 순서로 읽고, 실제 곱셈에서 서로 맞물릴 방향을 판단해야 합니다. 앞 행렬의 한 행은 뒤 행렬의 한 열과 대응하면서 각 성분의 곱을 더해야 하는데, 이때 앞 행렬의 열 개수와 뒤 행렬의 행 개수가 같아야 합니다.

오답의 원인을 구분하는 확인

교사는 처음 답을 바로 계산 실수라고 단정하지 않고, 학생이 “바깥숫자”라고 말한 이유부터 확인합니다. “2행 2열에서 첫 번째 2와 두 번째 2는 각각 무엇을 나타내지?”, “두 행렬을 곱할 때 실제로 연결되는 쪽은 어디일까?”라고 묻고, 행과 열의 위치를 말로 구분하게 합니다. 학생이 행과 열의 뜻은 설명하지만 대표 문제에서만 순서를 놓쳤다면 조건을 읽는 과정부터 다시 살핍니다. 반대로 두 번째 행렬의 3행 2열을 3열 2행처럼 읽는다면 행렬의 크기를 해석하는 개념을 먼저 보완해야 합니다.

학생이 이유를 바로 설명하지 못해도 교사는 앞 행렬의 열 두 칸과 뒤 행렬의 행 세 칸을 나란히 짚어 보이며 연결할 항의 수를 비교합니다. 앞쪽에서 두 항을 준비했는데 뒤쪽에서는 세 항을 대응시켜야 하므로 한 성분의 곱의 합을 완성할 수 없다는 점을 짧게 함께 확인합니다. 이후 학생은 처음의 “바깥숫자가 2라 가능하다”는 판단에서 벗어나, 행렬의 크기를 행×열로 읽고 안쪽 숫자를 비교해야 한다고 다시 말해 봅니다.

수정 풀이와 검산

학생은 문제와 두 행렬의 크기는 볼 수 있지만 앞의 풀이와 결론은 가린 상태에서 다시 시작합니다. 먼저 앞 행렬의 크기를 2×2, 뒤 행렬의 크기를 3×2로 적습니다. 곱셈 가능 조건은 앞 행렬의 열 수와 뒤 행렬의 행 수가 같아야 한다는 것이므로, 2와 3을 비교합니다. 두 수가 다르므로 이 곱은 정의되지 않는다고 결론 내립니다. 학생은 처음 답에서 바꾼 부분이 “바깥 숫자 2를 확인한 것”이 아니라 “앞의 열 수와 뒤의 행 수를 대조하지 않은 것”이었다고 문제 조건과 연결해 설명합니다.

검산도 같은 결론을 단순히 반복하는 대신 성분을 만드는 방식으로 확인합니다. 첫 번째 행렬의 한 행에는 대응시킬 항이 두 개 있지만, 두 번째 행렬의 한 열을 만들려면 세 행에서 성분을 가져와야 합니다. 따라서 곱의 각 성분을 같은 개수의 곱의 합으로 만들 수 없습니다. 이 조건을 다시 확인했을 때도 2와 3이 맞지 않으므로 결과를 억지로 계산하지 않습니다. 학생이 순서는 이해했지만 비교에서 멈춘다면 짧은 예를 함께 보이고, 계산이 아니라 개념 설명이 더 필요한지에 따라 도움의 양을 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음을 확인하기

이제 기본 문제와 구분되는 새 문제를 봅니다. 2행 3열 행렬과 3행 2열 행렬을 이 순서로 곱할 수 있는가? 앞 행렬의 열 수는 3, 뒤 행렬의 행 수는 3이므로 이번에는 곱할 수 있습니다. 결과 행렬의 크기는 바깥쪽 크기인 2×2가 됩니다. 각 성분은 앞 행렬의 한 행과 뒤 행렬의 한 열을 대응시켜 세 곱의 합으로 정합니다. 이전 문제와 달라진 것은 바깥 숫자가 아니라 연결되는 안쪽 숫자가 3과 3으로 같아졌다는 점입니다.

필요하다면 “행렬 곱은 바깥쪽 숫자가 같으면 정의된다”는 설명이 항상 맞는지도 비교합니다. 2행 3열 행렬과 4행 2열 행렬은 바깥 숫자가 모두 2이지만, 연결할 수는 3과 4로 다릅니다. 따라서 곱은 정의되지 않습니다. 다음 수업에서는 학생이 행렬의 크기를 행×열로 정확히 읽고, 풀이와 정답을 가린 상태에서도 안쪽 숫자를 먼저 비교하는지 확인합니다. 새 조건에서 결과 행렬의 크기와 세 곱의 합이라는 근거까지 설명하는지가 다음 적용의 기준입니다.