각화동 수학과외

서로소라는 조건만으로 소수라고 판단한 이유

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “자연수 15와 16이 서로소이므로 두 수 모두 소수다.” 먼저 문제에서 묻는 것은 두 수 사이의 공약수 관계와 각 수의 소수 여부가 같은지 판단하는 일입니다. 서로소라는 말은 두 수의 공약수가 1뿐이라는 뜻이지, 각 수가 소수라는 뜻은 아닙니다.

따라서 이 답은 서로소라는 조건을 각 수의 성질로 잘못 넓혀 적용한 것입니다. 15와 16의 최대공약수가 1이라는 판단 자체와, 15와 16이 소수인지 판단하는 과정은 따로 확인해야 합니다. 교사는 곧바로 원인을 단정하기보다 “서로소라는 말은 두 수 각각의 약수 개수를 말하는 것일까, 아니면 두 수가 함께 가지는 공약수를 말하는 것일까?”라고 묻고, 학생이 약수와 공약수의 뜻을 구분하는지 살핍니다.

각 수의 약수를 따로 조사하며 판단 고치기

학생이 개념을 말로 설명하기 어렵다면 교사는 15와 16에서 필요한 부분을 함께 나누어 봅니다. 먼저 15의 약수는 1, 3, 5, 15이므로 1과 자기 자신 이외의 약수인 3과 5를 가집니다. 따라서 15는 소수가 아니라 합성수입니다. 16도 1, 2, 4, 8, 16을 약수로 가지며 16=2⁴로 나타낼 수 있으므로 합성수입니다.

그다음 두 수에 공통으로 들어가는 약수를 비교합니다. 15의 약수 목록과 16의 약수 목록에서 겹치는 수는 1뿐입니다. 그러므로 최대공약수는 1이고 두 수는 서로소입니다. 여기서 학생은 처음의 결론을 “서로소이므로 둘 다 소수다”에서 “서로소이지만 15와 16은 각각 여러 약수를 가지므로 둘 다 합성수다”로 고칩니다. 교사가 한 수의 약수 찾기를 먼저 보여 주었다면, 학생은 나머지 수의 약수를 직접 적고 두 수의 공약수까지 확인해 답을 완성합니다.

공약수와 소수 여부를 다른 방식으로 검산하기

검산할 때는 앞의 풀이를 그대로 반복하기보다 두 판단의 대상을 다시 나누어 확인합니다. 15=3×5이므로 15에는 1과 자기 자신 이외의 약수가 있고, 16=2⁴이므로 16에도 2, 4, 8이 있습니다. 이 사실만으로 두 수가 각각 소수가 아니라는 점을 확인할 수 있습니다.

반면 서로소 여부는 두 수 사이의 공약수를 확인하는 문제입니다. 15의 약수 1, 3, 5, 15와 16의 약수 1, 2, 4, 8, 16을 비교하면 공통 약수 목록은 {1}입니다. 따라서 “각 수의 약수”와 “두 수의 공약수”를 같은 것으로 취급하지 않았는지 살펴보는 것이 검산의 핵심입니다. 수정 풀이와 답을 가린 뒤 학생이 문제 조건만 보고 이 두 과정을 다시 시작하게 하고, 막히는 지점이 정의인지 약수 계산인지에 따라 도움을 조절합니다.

새 수에 적용하고 다음 판단 확인하기

새 문제로 “8과 15는 서로소다. 두 수 모두 소수라는 뜻인가?”를 제시합니다. 이번에는 앞의 문제와 숫자가 달라졌지만, 확인할 조건은 같습니다. 8=2³이므로 1, 2, 4, 8을 약수로 가지고, 15=3×5이므로 1, 3, 5, 15를 약수로 가집니다. 두 수의 공약수는 1뿐이므로 서로소이지만, 두 수 모두 자기 자신과 1 이외의 약수를 가지므로 각각 합성수입니다.

학생이 이 문제를 풀 때는 먼저 각 수의 소수 여부를 따로 판단한 뒤 공약수를 확인하고, 마지막에 “서로소는 공약수에 관한 말이고 소수는 한 수의 약수 개수에 관한 말”이라고 근거를 설명하는지 봅니다. 필요하다면 8과 9도 비교할 수 있습니다. 8과 9는 공약수가 1뿐이지만 8=2³, 9=3²이므로 둘 다 합성수입니다. 숫자만 바뀐 문제를 계속 반복하기보다, 학생이 이전 풀이와 정답을 보지 않고 새 조건에서도 두 판단을 분리해 해결하는지를 다음 확인 기준으로 삼습니다.