용봉동 수학과외

36=4×9에서 왜 더 나누어야 할까

다음 문제에서 학생이 “36=4×9에서 끝낸다”고 답했다고 가정해 보겠습니다. 4와 9를 곱해 36을 만든 판단 자체는 맞지만, 문제는 단순히 곱으로 나타내는 것이 아니라 소인수분해하는 것입니다. 소인수분해는 수를 소수들의 곱으로 나타내는 과정이므로, 4와 9처럼 더 나눌 수 있는 합성수가 남아 있으면 풀이를 끝낼 수 없습니다.

오답에서 바꾸어야 할 판단

교사는 처음부터 답이 틀렸다고 단정하기보다 “4와 9를 각각 더 나눌 수 있는지 확인해 볼까?”라고 묻습니다. 학생이 4는 2×2로, 9는 3×3으로 나눌 수 있다는 사실은 말하지만 이것을 소인수분해의 조건과 연결하지 못한다면, 약수와 소수의 뜻을 다시 짚습니다. 반대로 개념은 알고 있는데 4 또는 9를 빠뜨렸다면, 처음 식에서 어느 인수를 바꾸어야 하는지 함께 살펴봅니다.

교사는 36=4×9에서 4와 9가 모두 합성수라는 점을 표시하고, 한 부분을 먼저 풀어 보입니다. 4=2×2이므로 4를 소수의 곱으로 바꿀 수 있습니다. 이어서 학생이 9=3×3을 직접 써 보게 하며, 더 이상 합성수가 남아 있지 않은지 확인하도록 돕습니다.

학생의 수정 풀이와 검산

학생은 처음 답에서 “4×9로 나타낸 것”은 남기되, 두 인수를 더 분해해야 한다는 판단을 고칩니다. 따라서 36=4×9=(2×2)×(3×3)이고, 지수를 사용하면 36=2²×3²입니다. 여기서 2와 3은 각각 소수이고, 2²는 2를 두 번 곱한다는 뜻이며 3²는 3을 두 번 곱한다는 뜻입니다.

풀이를 가린 뒤 학생이 문제의 수와 조건만 보고 다시 시작하게 하면, 36을 먼저 4×9로 나눈 다음 합성수인 인수를 끝까지 확인하는지 볼 수 있습니다. 검산은 같은 풀이를 반복하는 대신 2×2×3×3을 계산해 36이 되는지 확인합니다. 개념을 설명하지 못해 막힌 것인지, 식을 옮기는 과정에서 실수한 것인지에 따라 다음 도움의 정도를 조절합니다.

새 조건에 적용하고 다음 확인하기

이번에는 기본 문제와 다른 수인 90을 살펴봅니다. 90=9×10에서 끝내지 않으려면 9와 10을 각각 소수의 곱으로 더 나누어야 합니다. 9=3², 10=2×5이므로 90=2×3²×5입니다. 이전 문제와 마찬가지로 합성수가 남아 있는지를 확인하지만, 이번에는 10도 더 분해해야 한다는 점이 다릅니다.

추가로 24와 48의 소인수분해를 비교하면 24=2³×3, 48=2⁴×3입니다. 두 수는 소인수의 종류가 2와 3으로 같지만 지수가 다르므로 서로 다른 수입니다. 따라서 학생이 새 문제를 스스로 끝까지 분해하고, 각 지수가 무엇을 뜻하는지 설명하며, 소인수의 종류만으로 두 수가 같다고 판단하지 않는지를 다음 확인 기준으로 삼을 수 있습니다.