두암동 수학과외

꼭짓점의 값과 구간에서의 최솟값은 다를 수 있습니다

교육용 상황으로 다음 문제에서 학생이 “꼭짓점 값은 0이다”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 문제는 3≤x≤5에서 y=(x−1)²의 최솟값을 구하는 것입니다. 식 y=(x−1)²의 꼭짓점은 x=1일 때이고, 그때의 함수값은 0입니다. 그러나 x=1은 주어진 구간 3≤x≤5에 포함되지 않습니다. 따라서 꼭짓점의 함수값 0을 그대로 답으로 쓸 수는 없습니다. 이 문제에서 구해야 하는 것은 전체 그래프의 최솟값이 아니라, 정해진 구간 안에서 실제로 얻을 수 있는 y의 최솟값입니다.

어느 판단에서 어긋났는지 함께 확인합니다

교사는 오답만 보고 곧바로 계산 실수라고 단정하지 않습니다. 먼저 “꼭짓점의 x좌표가 얼마인지, 그 x값이 문제에서 정한 구간 안에 있는지”를 묻고, 학생이 꼭짓점은 알고 있지만 구간 조건을 빠뜨린 것인지 살펴봅니다. 설명이 막히면 x=1과 구간 3≤x≤5를 수직선에 함께 표시해 봅니다. x=1은 구간의 왼쪽에 있으므로, 문제에서 허용된 x값은 모두 대칭축 x=1의 오른쪽에 있습니다. 이 구간에서는 x가 커질수록 x−1도 커지고, x−1이 양수이므로 그 제곱도 커집니다. 이처럼 개념은 설명했지만 결과가 틀렸다면, 처음 식을 잘못 세운 것인지가 아니라 꼭짓점을 구간 안의 값처럼 사용한 조건 해석을 먼저 고쳐야 합니다.

구간의 위치를 반영해 수정 풀이를 다시 씁니다

교사는 대표 문제에서 “구간이 대칭축의 어느 쪽에 있는가”를 짚은 뒤, 증가 방향을 확인하도록 돕습니다. 학생이 한 번에 설명하기 어렵다면 x−1의 범위부터 함께 구합니다. 3≤x≤5의 양변에서 1을 빼면 2≤x−1≤4입니다. 이제 이 구간의 모든 x−1이 양수이고, x가 커질수록 x−1도 커지므로 y=(x−1)²는 이 구간에서 증가합니다. 학생은 처음의 “꼭짓점 값 0”을 “꼭짓점 x=1은 구간 밖이므로 사용할 수 없다”로 바꾸어 적고, 증가하는 함수에서는 구간의 왼쪽 끝 x=3에서 최솟값을 구해야 한다고 판단합니다. 따라서 y=(3−1)²=2²=4이고, 정답은 4입니다. 답만 고쳐 쓰는 것이 아니라, 구간의 위치와 증가 방향이 x=3을 선택한 이유임을 연결해 말하게 합니다.

조건에 대입해 확인하고 새 문제에 적용합니다

검산은 같은 풀이를 그대로 반복하는 대신, 허용된 x값의 범위를 식에 대입해 확인합니다. 2≤x−1≤4이므로 제곱하면 4≤(x−1)²≤16입니다. 실제로 함수값은 4 이상 16 이하이므로 0을 최솟값이라고 할 수 없고, x=3에서 얻은 4가 조건에 맞습니다. 풀이 순서를 외워 쓴 것인지 확인할 때는 문제의 조건과 식은 보이게 두고, 앞서 작성한 풀이와 정답은 가린 채 다시 시작하게 합니다. 혼자 진행하지 못하면 꼭짓점과 구간의 관계가 어려운지, 제곱 계산에서 막히는지에 따라 도움을 조절합니다.

이전 문제와 다른 새 적용 문제로 y=(x−2)², 4≤x≤6에서 최솟값과 최댓값을 살펴볼 수 있습니다. 이번 식의 대칭축은 x=2이고, 구간 전체가 그 오른쪽에 있습니다. 따라서 이 구간에서도 함수는 증가합니다. x=4에서 y=(4−2)²=4이므로 최솟값은 4, x=6에서 y=(6−2)²=16이므로 최댓값은 16입니다. 이후에는 구간이 대칭축의 왼쪽에 있는 경우도 비교할 수 있습니다. 예를 들어 −2≤x≤0에서 y=(x−1)²는 x=1의 왼쪽 구간이므로 x가 커질수록 대칭축에 가까워집니다. x=0에서 값은 1, x=−2에서 값은 9이므로 최솟값은 오른쪽 끝에서 나옵니다. 다음 확인에서는 학생이 풀이와 정답을 가린 뒤 새 조건에서도 구간과 대칭축의 위치를 먼저 판단하고, 선택한 끝점의 근거를 설명하는지 살펴봅니다.