청당지구 고등수학과외

“유리화한 분자가 n인가 1인가?”에서 멈춘 계산

계산을 하던 중 “유리화한 분자가 n인가 1인가?”라는 질문에서 풀이가 멈출 수 있다. 문제는 $a_n=\sqrt{n^2+1}-n$, $n\ge1$의 극한을 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 근호가 있는 식의 모양이 익숙하다는 이유로 극한을 $1/2$라고 단정했을 가능성이 있다. 하지만 항이 점점 작아 보인다는 사실, 일정한 범위 안에 있다는 사실, 실제로 수렴한다는 사실은 서로 구분해야 한다. 몇 항의 소수값만 보고 결정하면 일반항의 구조를 놓칠 수 있고, 경우에 따라 홀수 번호와 짝수 번호의 거동이 다른지도 확인해야 한다.

분자의 차이를 원래 조건과 대조하는 풀이

먼저 “켤레식을 곱했을 때 분자는 무엇이 남는가?”라고 묻는다. $(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)=1$이므로 $a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}$이다. 여기서 분자는 $n$이 아니라 상수 1이다. 수열의 극한은 항 번호 $n$이 양의 정수로 커질 때 살펴보므로, 분모가 커지는 구조를 확인해야 한다. $n\ge1$에서 $\sqrt{n^2+1}>n$이므로 분모는 $2n$보다 크고, 따라서 $0<a_n<\frac1{2n}$이다. $\frac1{2n}\to0$이고 $a_n$은 그보다 작거나 같으므로 비교를 통해 $a_n\to0$이라고 판단한다. 단순히 도형처럼 보이는 모양이나 한두 항의 값이 아니라, 유리화 뒤의 식과 주어진 정의역을 함께 대조하는 과정이다.

풀이를 가린 뒤 조건을 바꾸어 다시 확인하기

설명을 덮은 상태에서 먼저 원래 문제의 식과 $n\ge1$이라는 조건만 남겨 두고, 유리화한 분자가 $n$인지 1인지 학생이 직접 표시하게 한다. 그 답과 $0<a_n\le\frac1{2n}$이라는 비교가 맞아야 다음 단계로 넘어간다. 이어서 문제와 조건만 남긴 채 $\sqrt{n^2+n}-n$, $n\ge1$의 극한을 구한다. 같은 유리화 방법을 적용하면 $a_n=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac1{\sqrt{1+1/n}+1}$이다. 이번에는 근호 안의 차이가 상수가 아니라 $n$이므로 분자에 $n$이 남는다. $n>0$이어서 근호 밖으로 $n$을 꺼낼 때 부호가 맞고, 분모는 2로 가므로 극한은 $1/2$이다. 이는 표현만 바꾼 문제가 아니라 남는 분자가 달라지는 조건의 변화다. 마지막으로 몇 항의 값과 일반항의 정리를 대조하고, 필요하면 홀수·짝수 부분의 거동도 나누어 살핀다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이처럼 오답을 바로 능력의 문제로 확정하지 않고, 확인 질문과 직접 계산을 통해 개념 이해와 조건 적용이 함께 되었는지 점검한다.