퇴계지구 고등수학과외

달라진 확률 조건부터 확인하기

기호 A, B, C가 나올 확률이 각각 1/2, 1/3, 1/6으로 주어졌다고 하자. 이때 B 또는 C가 나올 확률을 구하는 문제에서 먼저 살필 것은 기호의 개수가 아니라 각 기호에 주어진 가능성이다. B와 C는 동시에 나올 수 없는 서로 배반인 사건이므로 P(B 또는 C)=P(B)+P(C)=1/3+1/6=1/2이다. A가 나올 확률이 1/2이므로 여사건을 이용해 1-P(A)=1/2로 확인할 수도 있다. 여기서는 기호의 개수 비로 2/3 같은 값을 만들 수 없다. 결과마다 가능성이 다르기 때문이다. 이렇게 답했다면 “모든 결과가 같은 가능성을 가지는가?”와 “더하려는 사건이 서로 겹치는가?”를 먼저 표시하게 한다.

순서 없는 동시 추출에서 같은 기준 만들기

이제 같은 기준을 세우기 위해 같은 크기의 공 빨강 2개와 파랑 2개에서 공 2개를 동시에 뽑는 문제로 돌아간다. 동시에 뽑으므로 빨강을 먼저 뽑고 파랑을 뽑는 순서를 따로 세지 않으며, 공의 색만 보더라도 실제 공은 서로 구별해 세어야 한다. 빨강을 R₁, R₂, 파랑을 B₁, B₂라고 표시하면 전체 근원사건은 {R₁,R₂}, {R₁,B₁}, {R₁,B₂}, {R₂,B₁}, {R₂,B₂}, {B₁,B₂}의 6개이고, 같은 가능성을 가진다. 빨파를 만드는 실제 공 묶음은 2×2=4개다. 반면 빨강 둘과 파랑 둘은 각각 1개씩뿐이다.

학생이 “빨빨, 빨파, 파파 중 하나이므로 1/3”이라고 답했다면, 오답 하나만으로 원인을 단정하지 않는다. 빨파를 실제로 몇 묶음 만들 수 있는지, 세 결과가 같은 가능성을 가지는지, 원하는 사건과 전체를 같은 단위로 세었는지를 차례로 확인한다. 수학적 확률의 개수 비는 근원사건들이 등확률일 때만 사용할 수 있기 때문이다. 교사는 전체 4C2=6과 빨파 묶음 4개까지만 제시하고, 학생이 조건을 반영해 다음 식을 직접 잇게 한다.

수정 풀이를 가리고 새 조건에 재적용하기

학생은 “두 색이 다를 때는 빨강 2개 중 하나와 파랑 2개 중 하나를 고르므로 2·2=4묶음, 따라서 확률은 4/6=2/3”이라고 다시 쓸 수 있다. 같은 색은 빨강 둘과 파랑 둘의 두 묶음뿐이므로 여사건으로 확인하면 1-2/6=2/3이다. 이 계산은 공의 구별과 동시 추출이라는 조건이 유지될 때 성립한다. 이후에는 원래 문제와 조건, 필요한 R₁·R₂·B₁·B₂ 표시만 남기고 풀이와 정답을 가린 상태에서 다시 시작하게 한다. 먼저 빨파 묶음을 목록으로 만들고 전체 6묶음과 대조한 뒤 식을 세우게 하면 답을 기억한 것인지 구별할 수 있다. 이어 A, B, C의 확률이 서로 다르게 주어진 문제를 풀며, 가능성의 단위를 섞을 때는 모든 결과를 목록이나 순서 없는 묶음으로 통일한다. 마지막으로 예시 오답의 ‘1/3’을 ‘4/6=2/3’으로 바꾼 이유를 말과 식으로 함께 표시하면, 표현만 바뀐 문제와 실제 조건이 달라진 문제를 구분하며 다음 확률 문제에도 같은 판단 기준을 적용할 수 있다.