풍남문 고등수학과외

지수방정식에서는 답의 모양을 먼저 고르기보다, 주어진 수가 어떤 밑의 몇 제곱인지 정확히 확인해야 한다. 특히 분수로 주어진 값은 양의 지수로 억지로 바꾸면 부호 판단이 달라질 수 있다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 실수 x에 대해 4ˣ=1/8을 풀어 보며, 밑을 통일하는 과정에서 두 판단이 어떻게 갈리는지 살핀다.

1/8을 양의 지수로 착각했을 때 확인할 것

이렇게 답했다면 먼저 풀이 전체를 틀렸다고 단정하지 않고, “1/8은 2의 몇 제곱인가?”라고 묻는다. 예시 오답은 4ˣ=2³이라 두고 x=3/2라고 한 경우다. 4ˣ는 2^(2x)로 쓸 수 있으므로 이 식을 따르면 2x=3, x=3/2가 나온다. 그러나 원래 오른쪽은 2³이 아니라 1/8=2⁻³이다. 학생은 계산기를 보기보다 2³=8과 2⁻³=1/8을 직접 적고, 어느 줄에서 주어진 조건과 달라졌는지 표시한다. 이렇게 하면 단순 계산 실수인지, 역수를 음의 지수로 나타내는 과정이 어려운지 구별할 수 있다.

같은 밑으로 바꾼 뒤 학생이 직접 완성하는 풀이

교사는 4ˣ=2^(2x), 1/8=2⁻³이라는 비교할 식까지만 제시한다. 같은 밑의 지수함수는 일대일이므로 등식에서는 지수를 비교할 수 있다는 근거를 확인한 뒤, 다음 한 줄은 학생이 직접 완성하게 한다. 2x=−3이므로 x=−3/2이다. 이때 답의 부호만 맞히는 데 그치지 않고, 4^(−3/2)=1/(√4)³=1/8인지 원식에 대입해 확인한다. 음의 지수는 역수를 뜻하므로 결과가 0과 1 사이에 놓이는지도 함께 대조한다. 부등식으로 바뀐다면 같은 밑으로 만든 뒤 밑이 1보다 큰지, 0과 1 사이인지 먼저 확인해야 하며, 밑의 범위를 보지 않고 지수의 대소를 바로 비교해서는 안 된다.

풀이와 정답을 가린 상태에서 다시 적용하기

재적용에서는 문제와 필요한 조건만 남기고, 앞서 쓴 풀이·정답·유도 표시는 가린다. 실수 x에 대해 2^(x+1)=8을 풀게 하며, 학생은 8을 2³으로 고친 뒤 같은 밑을 비교한다. x+1=3에서 x=2를 얻었다면 2^(2+1)=8로 원식에 맞는지 검산하고, 같은 밑의 지수함수가 일대일이므로 다른 해가 없는 이유도 말하게 한다. 이후 수정 전후의 단계를 섞어 놓고 음의 지수로 밑을 통일하는 풀이에 맞게 순서를 복원하게 한다. 역수 형태가 포함된 문제와 포함되지 않은 문제를 함께 제시해, 학생이 단순히 외운 부호가 아니라 “주어진 수를 같은 밑의 정확한 거듭제곱으로 나타냈는가”를 근거로 선택하는지 확인한다.