갈마동 중등수학과외

“x<4.5인 모든 정수라서 무한히 많다”는 답안에서 시작하기

한 학생이 일차부등식 문제를 푼 뒤 “x<4.5인 모든 정수라서 무한히 많다.”라고 적었습니다. 계산 자체를 먼저 보면 2x+1<10에서 양변에 1을 빼어 2x<9를 만들고, 2로 나누어 x<4.5를 얻은 과정은 맞았습니다. 갈마동중등수학과외 수업에서는 이처럼 계산 결과만 보고 답을 확정하지 않고, 학생이 문제의 조건을 끝까지 사용했는지 확인합니다.

교사는 곧바로 “계산 중에 원래 조건 0≤x가 남아 있나요?”라고 물었습니다. 학생은 x<4.5라는 결과만 다시 읽다가 잠시 멈췄습니다. 이때 교사는 오답 하나만으로 개념을 모른다고 단정하지 않았습니다. 학생이 정수와 범위를 구분하고 있는지, 또는 조건을 풀이 과정에서 빠뜨린 것인지 나누어 확인할 필요가 있기 때문입니다.

2x<9의 해와 원래 범위가 만나는 부분

교사는 종이에 두 범위를 따로 표시했습니다. 계산으로 얻은 범위는 x<4.5이고, 문제에서 처음 제시한 범위는 0≤x<7입니다. 이어 “두 범위에 동시에 들어가는 정수는 어디부터 어디까지인가요?”라고 짧게 질문했습니다. 설명을 모두 대신하지 않고, 새 부등식의 해를 원래 구간과 겹쳐야 한다는 관계만 보여 준 뒤 공통 부분은 학생이 직접 찾게 했습니다.

학생은 먼저 2x+1<10에서 2x<9, 따라서 x<4.5라고 다시 적었습니다. 그다음 0≤x<7과 x<4.5를 함께 놓고, 가능한 정수를 0, 1, 2, 3, 4로 골랐습니다. 5부터는 x<4.5를 만족하지 않고, 음수는 계산 결과만 보면 조건을 만족할 수 있어도 0≤x에 막힙니다. 학생이 처음에는 상한만 보고 음수까지 포함했지만, 수정할 때는 하한과 상한을 모두 표시한 점이 핵심 변화입니다.

학생이 직접 고친 식과 다른 방식의 검산

학생은 최종 풀이를 “2x<9이므로 x<4.5. 주어진 범위의 정수는 0, 1, 2, 3, 4로 5개”라고 정리했습니다. 교사는 같은 식을 반복해서 계산하게 하는 대신 경계 주변의 값을 대입해 확인하도록 했습니다. x=4이면 2×4+1=9이므로 9<10을 만족하지만, x=5이면 2×5+1=11이어서 11<10이 거짓입니다. 또 0은 문제의 원래 범위 0≤x에 포함됩니다. 따라서 선택한 정수의 끝점과 제외되는 첫 정점을 확인해도 해가 0, 1, 2, 3, 4라는 결론과 개수 5개가 일치합니다.

이 확인 뒤에도 바로 개선이 끝났다고 쓰지는 않습니다. 문제와 조건은 그대로 두고 학생의 오답, 수정 풀이, 정답을 가린 뒤 같은 문제를 다시 제시할 수 있습니다. 그때 학생이 먼저 0≤x<7을 표시하고, 계산한 x<4.5와 공통 부분을 스스로 찾는지 관찰해야 합니다. 기준을 선택하지 못하면 “새 부등식의 해를 원래 구간과 겹친다”는 한 관계만 되짚고, 다음 줄은 학생이 결정하게 합니다.

음수와 등호가 들어간 새 조건에 적용하기

이제 조건을 바꾼 문제를 제시합니다. “−2≤x<4인 정수 x 중 2x+1≤5인 수를 모두 구하라.”는 문제입니다. 이번에는 허용 범위에 음수가 들어가고, 부등호에 등호가 포함됩니다. 먼저 2x+1≤5에서 2x≤4, 따라서 x≤2를 얻습니다. 이어 원래 범위 −2≤x<4와 계산한 범위 x≤2의 공통 정수를 고르면 −2, −1, 0, 1, 2가 남으므로 모두 다섯 개입니다.

마지막으로 학생은 경계값을 직접 확인합니다. x=2이면 2×2+1=5이므로 5≤5가 참이고, 등호가 포함된 조건에서는 2를 제외하면 안 됩니다. 반면 x=3이면 2×3+1=7이어서 7≤5가 거짓입니다. 다음 문제에서는 학생이 바뀐 허용 범위와 등호 포함 여부를 먼저 표시한 뒤, 원래 범위와 계산한 해의 공통 정수를 도움 없이 고르게 합니다. 교사는 학생이 음수 −2와 경계값 2를 빠뜨리지 않고, 2는 등호로 가능하며 3은 조건을 넘는다고 식으로 설명하는지 확인합니다.