변동 중등수학과외

학생은 자료 2, 3, 3, 4, 18의 평균·중앙값·최빈값을 구한 뒤, 18을 100으로 바꾸면 중앙값도 커진다고 적었다. 변동중등수학과외 수업에서는 이 답을 곧바로 개념을 모른다는 증거로 보지 않고, 어느 판단에서 문제 조건과 풀이가 갈라졌는지 확인한다. 먼저 원자료의 합을 계산하면 2+3+3+4+18=30이므로 평균은 30÷5=6이다. 작은 수부터 이미 정렬되어 있어 가운데 값은 3이고, 두 번 나온 3이 최빈값이다.

“가장 큰 수가 바뀌면 가운데 자리도 바뀌는가?”

교사는 학생의 답안 옆에 변경된 자료를 적는다. 2, 3, 3, 4, 100. 그런 다음 “정렬한 다섯 값 중 가운데 자리가 바뀌었니?”라고 짧게 묻는다. 학생이 큰 값이 18에서 100으로 커졌다는 사실만 반복하고 세 번째 자리를 확인하지 못한다면, 자료의 순서와 중앙값의 기준을 다시 확인한다. 반대로 가운데 자리는 세 번째 값이라는 기준을 말하면서도 중앙값을 100에 가깝게 썼다면, 정렬된 자료에서 세 번째 값을 옮겨 적는 과정을 한 줄씩 살핀다. 이 질문은 큰 값의 변화와 가운데 위치의 변화를 같은 것으로 판단했는지 구분하기 위한 것이다.

교사는 모든 풀이를 대신 설명하지 않고, “바뀐 자료를 작은 수부터 다시 놓아 보자”라고 안내한 뒤 한 단계만 시범으로 보인다. 100은 가장 큰 값이므로 맨 뒤에 놓인다. 따라서 2, 3, 3, 4, 100에서 세 번째 값은 여전히 3이다. 여기서 확인할 관계는 가장 큰 값 하나만 커져도 가운데 순서와 가운데 값은 그대로일 수 있다는 점이다. 학생은 변경된 자료를 직접 정렬하고, 세 번째 위치에 표시선을 그어야 한다.

평균은 달라져도 중앙값은 그대로인 수정 풀이

학생은 처음 답안의 “중앙값도 커진다”를 지우고 변경 전과 변경 후를 나란히 다시 쓴다. 원자료에서는 2+3+3+4+18=30, 평균은 30÷5=6, 가운데 값은 3이므로 중앙값은 3이다. 두 번 나온 값이 3뿐이므로 최빈값도 3이다. 18을 100으로 바꾼 뒤에는 자료가 2, 3, 3, 4, 100이 된다. 학생은 다섯 값의 세 번째 위치를 확인하여 중앙값을 3이라고 고쳐 쓴다.

검산은 평균 계산을 그대로 반복하지 않고 대푯값의 기준을 대조하는 방식으로 진행한다. 원자료에서는 평균 6에 자료 수 5를 곱하면 30이 되어 합과 일치한다. 변경 후에는 합이 2+3+3+4+100=112이므로 평균은 112÷5=22.4까지 커진다. 그러나 정렬된 자료의 세 번째 값은 여전히 3이다. 즉 평균은 큰 값의 영향을 받았지만, 이 조건에서는 중앙값과 최빈값은 각각 3으로 유지된다. 학생은 “평균이 변했다”와 “중앙값이 변했다”를 같은 결론으로 묶지 않고, 각 대푯값을 정하는 기준을 따로 말한다.

18을 제거하면 자료의 개수부터 다시 세기

새 문제에서는 조건을 바꾼다. 자료 2, 3, 3, 4, 18에서 가장 큰 18을 다른 큰 수로 바꾸는 것이 아니라 아예 제거한다. 남은 자료는 2, 3, 3, 4이고 합은 2+3+3+4=12이다. 자료가 네 개로 줄었으므로 평균은 12÷4=3이다. 중앙값은 가운데 두 값인 세 번째와 두 번째 값, 즉 (3+3)÷2=3으로 구한다. 두 번 나온 3이 최빈값이므로 최빈값도 3이다.

이 문제에서 유지되는 원리는 자료를 정렬한 뒤 중앙 위치를 확인하고, 자료 수에 맞는 평균의 분모와 중앙값의 위치를 정하는 것이다. 달라진 조건은 큰 값을 다른 값으로 바꾼 것이 아니라 자료에서 제거했다는 점이다. 따라서 앞의 다섯 자료처럼 세 번째 값 하나만 찾을 수 없고, 네 자료의 가운데 두 값을 평균 내야 한다. 다음 수업에서는 학생이 도움 없이 변경된 자료를 먼저 정렬하고, 자료의 개수에 따라 가운데 위치를 표시한 뒤 평균·중앙값·최빈값을 각각 계산하는지 확인한다. 교사는 학생이 18을 제거한 뒤 평균의 분모를 4로 바꾸고, (3+3)÷2라는 근거를 직접 남기는지를 확인한다.