복수동 중등수학과외

학생은 먼저 “볼록 정다각형의 한 외각이 30°이다. 변의 개수와 한 내각을 구하라.”라는 문제를 받았다. 복수동중등수학과외 수업에서 교사는 학생이 외각의 크기에서 변의 개수를 거꾸로 찾는지 지켜보기 위해 식을 바로 제시하지 않았다. 학생은 외각의 합이 360°라는 사실을 떠올렸지만, 360을 30으로 나누는 이유와 그 결과가 변의 개수라는 점을 글로 연결하지 못한 채 멈추었다.

외각 30°에서 변의 개수로 거꾸로 읽기

교사는 “같은 외각이 몇 번 모이면 한 바퀴가 될까?”라고 짧게 물었다. 학생은 30°를 여러 번 더해 360°가 되는 횟수를 찾는 문제라고 말했고, 그제야 360÷30=12를 적었다. 따라서 이 정다각형의 변의 개수는 12개이다. 여기서 중요한 점은 숫자만 계산하는 것이 아니라, 정다각형이므로 모든 외각의 크기가 30°로 같다는 조건을 사용했다는 것이다.

학생은 이어서 한 내각을 구하기 위해 180°−30°=150°을 계산했다. 외각과 그에 이웃한 내각의 합이 180°라는 관계를 사용했으므로, 한 내각은 150°이다. 교사는 학생에게 “12×30이 외각 전체를 이루는지 확인해 볼래?”라고 물었고, 학생은 12×30=360°이라고 적었다. 또 150°+30°=180°도 확인하여 두 결과가 조건에 맞는지 설명했다.

정팔각형에서 135°를 말할 때 필요한 조건

그다음 수업 장면은 볼록 정팔각형의 한 내각과 한 외각을 각각 구하는 문제로 옮겨 갔다. 학생의 첫 답은 “모든 팔각형의 내각은 각각 135°다.”였다. 내각의 합을 구한 뒤 8로 나누려는 방향 자체는 정팔각형에서는 맞지만, 학생은 팔각형이면 언제나 각이 같다고 일반화했다. 교사는 “변과 각이 서로 다른 팔각형도 각이 같을까?”라고 물었다.

학생은 변의 길이와 각의 크기가 서로 다른 팔각형을 떠올리며 “팔각형이라는 이유만으로 각이 같지는 않다.”고 답했다. 교사는 질문에 대한 이 설명과 처음 적은 문장을 나란히 놓고, 두 내용이 처음 어긋난 지점만 표시했다. 오답 하나만으로 학생이 관련 개념을 전혀 모른다고 단정하지 않고, 정다각형 조건을 실제 풀이에 넣었는지를 확인한 것이다.

정다각형 조건을 확인한 뒤 다시 쓴 풀이

교사는 먼저 외각 8개의 합은 45×8=360°이고, 내각+외각=180°이라는 계산만 대조 자료로 보여 주었다. 이어 “내각 합은 같아도 8로 나눈 값이 각 하나가 되려면 각이 같아야 한다.”라고 설명한 뒤, 다음 식은 학생이 직접 완성하게 했다.

학생은 문제의 조건에서 정팔각형이라는 말을 확인하고 풀이를 다시 썼다. 내각의 합=(8−2)×180°=1080°, 한 내각=1080°÷8=135°, 한 외각=180°−135°=45°이다. 처음 풀이와 달라진 점은 135°라는 숫자만 고친 것이 아니라, 8로 나누기 전에 모든 내각이 같다는 정다각형 조건을 확인한 것이다. 교사는 이어서 외각을 이용한 검산을 맡겼고, 학생은 45°×8=360°을 계산한 뒤 135°+45°=180°임을 확인했다. 본풀이와 다른 관계를 사용해 정답과 도형의 조건을 함께 점검한 셈이다.

조건을 바꾼 문제에서 독립적으로 설명하기

처음의 적용 문제에서는 외각 30°에서 변의 개수를 찾았고, 정팔각형 문제에서는 변의 개수가 주어진 상태에서 각을 구했다. 두 문제에 공통으로 쓰인 원리는 정다각형의 외각 합이 360°이고, 한 내각과 한 외각의 합이 180°라는 점이다. 다만 학생은 이제 한 각을 구하기 전에 반드시 정다각형 조건을 확인해야 한다. 다음 수업에서는 원래 정팔각형 문제의 풀이 부분만 가린 자료를 다시 제시한다. 학생이 도움 없이 정다각형 조건을 먼저 표시하고 내각의 합, 한 내각, 한 외각의 식을 차례로 완성하는지를 본다. 막히면 “내각 합은 같아도 8로 나눈 값이 각 하나가 되려면 각이 같아야 한다.”까지만 다시 말하고, 이어지는 계산은 학생이 직접 적게 한다. 완성 뒤에는 외각 8개의 합이 360°이고 내각과 외각의 합이 180°인지 설명하는지를 확인한다.