월평동 중등수학과외

8cm, 15cm, 16cm는 삼각형이지만 직각일까?

수업은 세 변이 8cm, 15cm, 16cm인 삼각형이 직각삼각형인지 판단하는 장면에서 시작한다. 학생은 먼저 8+15=23이므로 16보다 크다는 점을 확인했다. 따라서 세 길이로 삼각형을 만들 수 있다는 판단은 맞았다. 그러나 직각 여부를 확인하는 계산에서는 8²+15²=64+225=289, 16²=256이므로 두 값이 같지 않다. 이 삼각형은 존재하지만 직각삼각형은 아니다.

교사는 이 결과를 바로 대표 문제의 풀이와 연결하지 않고 질문했다. “삼각형이 만들어지는 것과 직각인 것은 같은 조건일까?” 학생은 두 조건이 다르다고 말했지만, 어떤 수를 비교해야 하는지는 아직 식으로 쓰지 못했다. 교사는 8+15>16은 삼각형의 존재를 확인하는 부등식이고, 제곱 관계는 직각 여부를 확인하는 별도의 기준이라고 짚었다. 월평동중등수학과외 수업에서는 학생이 답만 고르는 대신, 두 판단에 사용한 계산을 각각 남겼는지 확인하는 데 초점을 둔다.

대표 문제에서 처음 달라진 선택

교사는 세 변이 8cm, 15cm, 17cm인 삼각형을 제시하고 “직각삼각형인지 판단하고 직각의 맞은편 변을 말해 보자”고 했다. 학생의 첫 풀이에는 8²+17²≠15²이므로 직각이 아니다라고 적혀 있었다. 8², 17², 15²를 제곱하려 한 점은 확인할 수 있지만, 가장 긴 변을 기준으로 두지 않고 17²를 8²와 더한 것이 처음 달라진 판단이었다.

교사는 “직각삼각형의 빗변은 세 변 중 어느 변일까?”라고 짧게 물었다. 학생이 “가장 긴 변”이라고 답하는지 먼저 듣고, 그 답을 실제 계산에서도 사용했는지 살폈다. 말로는 빗변을 알고 있어도 식에서는 아무 변이나 단독 항으로 비교할 수 있으므로, 이 오답 하나만으로 원인을 확정하지 않았다. 대신 세 길이에 동그라미를 치고 가장 큰 수를 고르게 했다.

17을 먼저 고른 뒤 학생이 완성한 풀이

교사는 계산 전체를 대신 써 주지 않고 “판정에서는 가장 긴 변 17의 제곱을 따로 둔다”는 한 단계만 보여 주었다. 이어서 학생이 8, 15, 17을 다시 비교해 17을 후보로 정했다. 학생은 다음과 같이 수정해 적었다.

가장 긴 변 17을 후보로 정한다.
8²+15²=64+225=289이고, 17²=289이다.
따라서 8²+15²=17²이므로 이 삼각형은 직각삼각형이다. 17cm 변의 맞은편 각이 직각이다.

처음 풀이와 달라진 부분은 계산 실수보다 비교의 기준이다. 처음에는 17을 8과 더해 15와 비교했지만, 수정할 때는 가장 긴 변 17을 한쪽에 두고 나머지 두 변의 제곱 합을 대조했다. 학생은 교사의 표시 뒤에 8과 15를 직접 골라 계산했고, 17cm 변의 맞은편 각이라는 결론까지 자신의 문장으로 마무리했다.

같은 계산을 반복하지 않는 확인과 다음 행동

검산은 8²+15²=17²을 다시 쓰는 방식으로 끝내지 않았다. 먼저 8+15>17, 즉 23>17이므로 세 길이로 삼각형을 만들 수 있음을 확인했다. 그다음 가장 긴 변의 제곱 289가 나머지 두 변의 제곱 합 64+225와 같다는 점을 대조했다. 이로써 삼각형의 존재 여부와 직각 여부를 서로 다른 근거로 점검했다.

다음 수업에서는 대표 문제의 조건만 남기고 처음 오답과 수정 풀이를 가린 뒤, 학생이 8, 15, 17 중 가장 긴 변부터 스스로 고르게 한다. 필요할 때는 “판정에서는 가장 긴 변 17의 제곱을 따로 둔다”까지만 다시 보여 주고, 8²+15²과 17²의 계산은 직접 쓰게 한다. 이어서 8cm, 15cm, 16cm인 삼각형을 제시해 8+15>16으로 삼각형은 존재하지만 8²+15²=289와 16²=256이 달라 직각삼각형이 아님을 판단하게 한다. 가장 긴 변을 먼저 표시하고, 삼각형의 존재 조건과 직각 조건을 구분해 설명하는지가 확인 근거가 된다.