내동 중등수학과외

내동중등수학과외 수업에서 교사는 공정한 동전을 서로 독립적으로 두 번 던질 때 앞면이 정확히 한 번 나오는 확률을 묻고, 학생이 적은 “뒤뒤만 빼면 되므로 3/4”라는 답안과 문제 조건을 나란히 놓았다. 교사는 곧바로 풀이를 고쳐 주지 않고 “앞앞이 앞면 정확히 한 번에 포함될까?”라고 물었다. 학생은 처음에는 뒤뒤만 실패한 결과라고 생각했지만, ‘정확히’라는 말이 횟수를 제한한다는 점까지 식에 반영했는지는 아직 확인되지 않았다.

네 가지 순서와 학생의 첫 판단

교사는 학생에게 동전 두 번의 결과를 순서대로 직접 적어 보게 했다. 첫 번째 던짐과 두 번째 던짐을 구분하면 가능한 결과는 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤 네 가지다. 학생의 첫 계산은 “뒤뒤만 빼면 되므로 3/4”였다. 뒤뒤를 성공 결과에서 제외한 부분은 문제의 조건과 관련이 있지만, 앞앞도 함께 제외해야 하는지가 빠져 있었다.

여기서 오답 하나만 보고 원인을 단정하지 않기 위해 교사는 학생에게 말로 기준을 설명하게 한 뒤, 설명과 적어 놓은 계산을 대조했다. 학생이 “앞면이 한 번만 있어야 한다”고 말하면서도 앞앞을 남겼다면, 개념을 모른다고 단정하기보다 조건을 식으로 옮기는 과정에서 판단이 달라졌는지 따로 확인할 수 있다. 교사는 “앞앞에는 앞면이 몇 번 있지?”라고 짧게 다시 물었다.

‘정확히’라는 조건을 결과 목록에 반영하기

교사는 필요한 설명을 한 단계만 제공했다. “앞앞에는 앞면이 두 번이다.” 그런 다음 나머지 결과를 대신 골라 주지 않고, 학생이 사건의 횟수 조건에 맞는 결과만 표시하게 했다. 학생은 앞면이 한 번인 경우를 앞뒤와 뒤앞으로 다시 분류하고, 가능한 결과 전체를 분모에 두어야 한다는 점을 말로 확인했다.

학생이 직접 고쳐 쓴 풀이는 다음과 같았다. 같은 가능성의 결과는 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤 네 가지이고, 앞면이 정확히 한 번 나오는 성공 결과는 앞뒤, 뒤앞 두 가지이다. 따라서 확률은 2/4=1/2이다. 처음 풀이와 달라진 점은 뒤뒤만 제외한 것이 아니라, 앞면이 두 번인 앞앞도 ‘정확히 한 번’의 조건에 맞지 않는 결과로 구분한 것이다.

곱셈으로 확인하는 검산과 조건 바꾸기

수정한 답은 같은 계산을 반복하지 않고 각 성공 결과의 확률을 곱해 확인했다. 동전은 공정하고 서로 독립적이므로 앞뒤가 나올 확률은 (1/2)(1/2)=1/4이고, 뒤앞도 (1/2)(1/2)=1/4이다. 두 성공 결과는 서로 겹치지 않으므로 합은 1/4+1/4=1/2가 된다. 결과 목록으로 센 값과 개별 순서의 확률을 더한 값이 일치하므로 정답을 조건과 함께 검산할 수 있다.

조건을 바꾸면 판단도 달라진다. 공정한 동전을 독립적으로 두 번 던질 때 앞면이 적어도 한 번 나올 확률을 묻는다면, 앞면이 한 번만 있어야 하는 것이 아니므로 앞앞이 새로 포함된다. 전체 네 결과 중 뒤뒤만 제외하면 되며, 성공 결과는 앞앞, 앞뒤, 뒤앞 세 가지이다. 따라서 적용 문제의 답은 3/4이다.

다음에는 대표 문제의 자료만 남기고 기존 풀이와 정답을 가린 뒤, 학생이 도움 없이 먼저 사건의 횟수 조건에 맞는 결과만 고르게 한다. 이어서 적어 둔 결과가 ‘정확히 한 번’인지 ‘적어도 한 번’인지 설명하고 계산하게 한다. 막히면 “앞앞에는 앞면이 두 번이다”라는 한 문장만 다시 확인하고 나머지는 스스로 이어 쓰게 하며, 풀이를 마친 뒤 앞뒤와 뒤앞의 확률을 각각 (1/2)(1/2)=1/4로 대조하는지 확인한다.