갈마동 고등수학과외

미적분Ⅰ에서 미분계수의 정의를 다룰 때는 계산보다 식의 의미를 먼저 확인해야 한다. 특히 증가량을 나타내는 분모를 빠뜨리면 분자를 계산하고도 전혀 다른 결론에 도달할 수 있다. 배움노트 고등수학 수업에서는 다음과 같은 대표 문제를 통해 함숫값, 평균변화율, 순간변화율이 어떻게 구별되는지 살핀다.

분자를 0으로 보고 끝낸 오답

문제는 f(x)=x²일 때 lim(h→0)[f(1+h)−f(1)]/h를 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 “h가 0으로 가므로 f(1+h)와 f(1)의 차도 0이고, 따라서 답은 0”이라고 적었을 수 있다. 그러나 이 판단은 분자의 극한만 본 것이다. 전체 식은 분자와 분모의 비이며, 분모 h도 함께 0으로 가므로 0/0 꼴을 그대로 값으로 정할 수 없다. 오답 하나만으로 단순 실수라고 확정하지 않고, “전개한 분자에 h가 공통인수로 들어 있는가?”라고 물어 어느 판단이 빠졌는지 확인한다. 또한 두 점의 함숫값 차이를 구한 것인지, 그 차이를 입력 증가량으로 나눈 평균변화율인지, h를 0으로 보낸 순간변화율인지 말로 구분하게 한다. 미분계수는 양쪽에서 h가 0으로 갈 때 같은 값으로 접근하는지도 확인해야 한다.

공통인수를 표시한 뒤 수정하기

미분계수는 [f(a+h)−f(a)]/h의 h→0 극한이다. 먼저 (1+h)²−1=1+2h+h²−1=2h+h²=h(2+h)로 전개한다. 여기서 h≠0인 범위에서는 분자와 분모의 h를 약분할 수 있으므로 주어진 비는 2+h가 된다. 따라서 lim(h→0)(2+h)=2이다. 학생이 직접 “h≠0에서 나누면 2+h, 그러므로 극한은 2”라는 등식을 완성하게 하면, 분자만 0으로 보내는 판단과 비 전체를 변형한 뒤 극한을 구하는 과정이 분리된다. 정답 2는 도함수 f′(x)=2x에서 f′(1)=2를 구한 결과와도 일치한다. 다만 이 확인은 정의에 따른 풀이를 대신하지 않으며, 분자의 극한만으로 비의 극한을 정할 수 없다는 점을 다시 표시한다. 함수가 연속이어도 미분계수가 반드시 존재하는 것은 아니므로 연속성과 미분가능성도 같은 개념으로 묶지 않는다.

증가량을 바꿔 다시 판단하기

기본 풀이를 마친 뒤에는 문제와 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시를 가린 상태에서 다음 식을 시작한다. f(x)=x²일 때 lim(h→0)[f(1+2h)−f(1)]/h를 구하는 문제다. 여기서는 입력 증가량이 h가 아니라 2h라는 점과 실제 분모가 h라는 점을 먼저 표시한다. [f(1+2h)−f(1)]/h=2·[f(1+2h)−f(1)]/(2h)로 바꾸면, 뒤의 비는 x=1에서 증가량 2h를 사용한 미분계수의 형태이므로 극한은 2f′(1)=4가 된다. 직접 전개하면 (1+2h)²−1=4h+4h²이고 이를 h로 나누어 4+4h를 얻으므로 극한 역시 4다. 표현만 바뀐 것인지 실제 조건이 달라진 것인지 구별하면서, 증가량의 배율 2가 결과에 보존되는지도 대조한다. 마지막에는 처음 오답에서 바꿔야 할 결론을 “분자의 극한이 아니라 h로 나눈 전체 비의 극한을 구한다”라고 식과 함께 표시하게 한다. 공식을 외워 적용했다면 두 점의 차와 입력 증가량, 주어진 분모를 다시 짚고 다음 문제에서도 같은 순서로 확인한다.