대구동구 고등수학과외

외접원 반지름을 구한 뒤 현의 길이를 다시 계산했을 때, 예시 오답인 12cm와 주어진 변의 길이 6cm가 맞지 않는 지점부터 살펴본다. 삼각형에서 변 a=6cm와 그 맞은편 각 A=30°가 주어졌다면, 사인법칙을 적용할 때 두 값의 대응을 정확히 읽어야 한다. 겉으로 보이는 도형의 모양만 보고 직각이나 끼인각을 가정하지 않고, 길이와 각을 표시한 상태에서 식의 성립 조건을 확인하는 것이 출발점이다.

6cm와 30°가 만드는 대응 관계 확인

이렇게 답했다면, 학생은 R=a/sin A=6/(1/2)=12cm라고 계산한 셈이다. 먼저 변 a가 정말 각 A의 맞은편 변인지 도형에 직접 표시하게 한다. 이어 사인법칙의 공통비가 R인지 2R인지 질문하고, a/sin A=2R이라는 식을 자료에 적은 뒤 자신이 사용한 식과 나란히 비교하게 한다. 이 과정은 단순히 공식을 잊었다고 결론 내리지 않고, 변과 맞은편 각의 대응을 놓친 것인지, 또는 끼인각에 쓰는 관계처럼 공식을 바로 대입한 것인지 두 가능성을 나누어 확인하게 한다.

학생이 식을 고쳐 외접원 반지름을 구하는 과정

교사는 삼각형 ABC에서 각 A, B, C의 맞은편 변을 각각 a, b, c로 정한 뒤, 주어진 관계에 맞는 법칙을 선택하도록 돕는다. 이 문제에서는 a/sin A=2R이므로 6/(1/2)=2R이 된다. 학생이 직접 양변을 정리하면 R=6cm이다. 정답을 얻은 뒤에는 숫자 하나만 확인하지 않고 현의 길이 공식 a=2R sin A에 다시 대입한다. 2·6·1/2=6cm가 되어 주어진 변 a를 복원하므로, 수정한 식과 계산 결과가 함께 성립한다. 반대로 R=12cm를 넣으면 현의 길이가 12cm가 되어 조건과 어긋난다는 점도 비교해 적는다.

표현을 바꾼 문제와 조건이 달라진 문제 구분

같은 대응 원리를 다른 질문에 적용한다. 삼각형 ABC에서 A=30°, B=60°, a=BC=4cm일 때 b=CA를 구하면, a/sin A=b/sin B에서 b=4·(√3/2)/(1/2)=4√3cm이다. B가 A보다 크므로 맞은편 변 b가 a보다 길어야 하며, 4√3cm는 이 조건을 만족한다. 이는 외접원 반지름을 구하는 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라, 알려진 값과 구할 값이 달라진 문제다. 따라서 사인법칙의 대응은 유지하되 목적에 맞는 미지수를 정해야 한다.

재적용에서는 문제와 조건만 남기고 풀이, 정답, 유도 표시를 가린다. 수정 전후 풀이를 섞어 제시한 뒤 외접원 반지름에 맞는 단계를 골라 순서를 복원하게 하고, 다른 조건의 문제에서는 왜 그 식을 선택했는지 말하게 한다. 도형을 다시 그릴 때는 길이와 각을 반드시 표시하며, 겉모양의 직각을 가정하지 않는다. 이렇게 확인한 뒤에도 a=2R sin A를 이용해 원래 조건을 복원할 수 있는지 점검하면 다음 삼각형 문제에서도 공식의 공통비와 대응 관계를 스스로 구분할 수 있다.