대구동천동 고등수학과외

|a+b|=√2. 이 결론은 a=(1,0), b=(0,1)의 성분을 먼저 더한 뒤 그 결과의 크기를 계산하면 확인할 수 있다. 기하 단원에서 벡터의 덧셈과 크기 합을 함께 다룰 때는 두 벡터의 길이를 곧바로 더할 수 있는지부터 판단해야 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 답을 외우게 하기보다 어떤 식이 빠졌는지 학생이 직접 표시하도록 한다.

크기만 더한 오답에서 빠진 판단 찾기

이렇게 답했다면 풀이에는 |a|+|b|=1+1=2라는 계산만 있고, a+b가 무엇인지 구하는 과정이 없다. 먼저 “두 벡터의 방향이 같은가?”, “합의 성분은 무엇인가?”라고 묻는다. a는 오른쪽으로 한 칸, b는 위쪽으로 한 칸 향하므로 두 방향은 같지 않다. 따라서 두 길이를 단순히 더한 2를 합벡터의 크기라고 할 수 없다. 다만 삼각부등식에 따라 |a+b|≤|a|+|b|이므로 2는 가능한 상한으로는 볼 수 있다. 두 벡터가 같은 방향일 때와 달리, 직각인 경우에는 등호가 성립하지 않는다.

성분과 화살표를 분리해 수정 풀이 쓰기

교사는 화살표의 시작점과 끝점을 확인하게 한 뒤, 벡터는 크기와 방향을 함께 가지며 평행이동해도 같은 벡터라는 점을 짧게 연결한다. 위치벡터의 차가 두 점 사이의 방향벡터가 된다는 사실도, 시작점과 끝점을 혼동하는지 확인할 때 활용한다. 학생은 먼저 a+b=(1+0, 0+1)=(1,1)을 적고, 이어서 |a+b|=√(1²+1²)=√2라고 직접 수정한다. 이렇게 하면 성분 연산과 크기 계산이 서로 다른 단계임을 식으로 드러낼 수 있다. 직각인 두 단위벡터를 이어 붙이면 대각선이 되므로 √2라는 값도 부분 검산할 수 있다. 반대로 |a|+|b|=2는 두 변의 길이를 더한 값일 뿐, 합벡터의 길이와 같다는 뜻은 아니다.

조건을 남긴 재적용과 다음 점검

같은 문제의 숫자나 표현만 바꾸는 것과 벡터의 방향 조건을 실제로 바꾸는 것은 구별해야 한다. 재적용에서는 문제와 조건, 필요한 좌표 자료만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 예를 들어 a=(2,0), b=(−2,0)일 때 a+b와 |a+b|를 구하게 한다. 학생은 x성분 2+(−2)=0을 먼저 쓰고, a+b=(0,0), |a+b|=0을 얻어야 한다. 두 화살표를 이어 붙이면 출발점으로 돌아오므로 영벡터라는 해석도 가능하다. 이때 “크기를 더하면 4인가?”를 다시 묻고, 반대 방향에서는 합벡터가 사라질 수 있음을 대조한다. 마지막으로 처음 오답의 결론을 |a|+|b|=|a+b|가 아니라 |a+b|≤|a|+|b|로 바꾸어 표시하게 한다. 이후에는 시작점과 끝점을 명시한 새 조건의 문제를 풀게 하여 답을 기억한 것인지, 성분을 더해 합벡터를 만든 뒤 크기를 계산한 것인지 확인한다.